來源:北京四中網校 2005-08-18 12:46:19
例3.如圖,已知ΔABC是等腰直角三角形,∠C=90°
(1)操作并觀察,如圖,將三角板的45°角的頂點與點C重合,使這個角落在∠ACB的內部,兩邊分別與斜邊AB交于E、F兩點,然后將這個角繞著點C在∠ACB的內部旋轉,觀察在點E、F的位置發生變化時,AE、EF、FB中最長線段是否始終是EF?
寫出觀察結果。
寫出觀察結果。
(2)探索:AE、EF、FB這三條線段能否組成以EF為斜邊的直角三角形(即能否有EF2=AE2+BF2)?如果能,試加以證明。
分析:操作、觀察不是重點,探索、猜測才是整個題目的重點,是難點,也就是說,從操作中獲取信息是探索問題的過程中最重要的。
(1)中只須旋轉∠ECF中用刻度尺量一量或觀察,即可得到。
(2)要判斷EF2=AE2+EF2,思路是把AE、EF、FB搬到一個三角形中,通常用平移、翻折、旋轉等方法,此題目用翻折的方法,出現和線段AE、BF相等的線段,并且和EF在一個三角形中。
解:(1)觀察結果是:當45°角的頂點與點C重合,并將這個角繞著點C在重合,并將這個角繞著點C在ÐACB內部旋轉時,AE、EF、FB中最長的線段始終是EF。
(2)AE、EF、FB三條線段能構成以EF為斜邊的直角三角形,證明如下:
例4.(北京朝陽區,最后一題)如圖,一個圓形街心花園,有三個出口A,B,C,每兩個出口之間有一條60米長的道路,組成正三角形ABC,在中心點O處有一亭子,為使亭子與原有的道路相通,需再修三條小路OD,OE,OF,使另一出口D、E、F分別落在ΔABC分成三個全等的多邊形,以備種植不同品種的花草。
(1)請你按以上要求設計兩種不同的方案,將你的設計方案分別畫在圖1,圖2中,并附簡單說明。
(2)要使三條小路把ΔABC分成三個全等的等腰梯形,應怎樣設計?請把方案畫在圖3中,并求此時三條小路的總長。
(3)請你探究出一種一般方法,使得出口D不論在什么位置,都能準確地找到另外兩個出口E、F的位置,請寫明這個方法。
(4)你在(3)中探究出的一般方法適用于正五邊形嗎?請結合圖5予以說明,這種方法能推廣到正n邊形嗎?
例5.某房地產公司要在一塊地(圖中矩形ABCD)上規劃建造一個小區公園(矩形GHCK),為了使文物保護區ΔAEF不被破壞,矩形公園的頂點G不能在文物保護區內,已知AB=200m, AD=160m, AE=60m, AF=40m。
(1)求矩形小區公園的頂點G恰是EF的中點時,公園的面積。
(2)當G在EF上什么位置時,公園面積最大?
分析:第一問比較容易,求出矩形GHCK的長和寬,注意利用ΔAEF的條件。
第二問是個探索性的問題,求面積的最大值,常用的辦法是將面積表示成長(或者寬)的函數。
說明:對于探索某一個量最大、最小的問題,利用函數思想是首選的方法,可以設置適當的變量,所求的量用它來表示,從而用函數的最大最小來求。
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