來源:初中數(shù)學(xué)競賽 2005-09-09 16:18:00
§17.1集合
我們考察某些事物的時候,常常要考慮由這些事物組成的群體,我們把這個群體叫作集合.組成某個集合的事物,叫作這個集合的元素.通常用大寫字母A,B,C…等表示集合,小寫字母a,b,c,…等表示元素.如果m是集合A的元素,就說m屬于A,記作m∈A.如果n
(i)你的家庭中所有成員組成一個集合,你和你的家庭中的其他各個成員都是這個集合中的元素.
(ii)自然數(shù)全體1,2,3,…組成一個集合(通常把它叫作自然數(shù)集).
(iii)如果A,B是平面上兩個不同的點,那么A,B兩點所確定的直線上的點組成一個集合,這條直線上每個點都是這個集合的元素.
總之,集合是數(shù)學(xué)中一個最基本、最常用的概念,下面進一步給同學(xué)們介紹一些關(guān)于集合的基本知識.
1.集合的描述方法
(1)列舉法
當一個集合所含元素個數(shù)較少時,一個最簡單的描述方法就是把它所含的每個元素都列舉出來,這叫列舉法.用列舉法表示集合,通常是將這個集合的每個元素一一填寫在{}中,每個元素之間用逗點隔開.填寫集合的元素時,與元素的排列次序無關(guān).例如:
(i)由a,b,c,d,e五個小寫字母組成的集合A,記作
A={a,b,c,d,e},
也可記作
A={b,a,c,d,e).
(ii)由小于40的質(zhì)數(shù)組成的集合B,記作
B={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37}.
(iii)平方等于1的有理數(shù)集合C,記作
C={1,-1}.
(iv)三條直線l1,l2,l3組成的集合D,記作
D={l1,l2,l3}.
(2)特征性質(zhì)描述法
當一個集合所含元素較多時,用列舉法描述很麻煩,這就要用到特征性質(zhì)描述法.
所謂特征性質(zhì)是指集合中元素的特征性質(zhì),即:(i)這個集合中每個元素都具有這些性質(zhì);(ii)具有這些性質(zhì)的事物都是這個集合的元素.
例如,集合={1,-1}用特征性質(zhì)描述法表示就是
A={x│x2=1},
或者
A={x││x│=1}.
全體偶數(shù)組成的集合B,用特征性質(zhì)描述法表示就是
B={x│x是能被2整除的整數(shù)},
或者
B={2n│n是整數(shù)}.
全體奇數(shù)組成的集合C,用特征性質(zhì)描述法表示就是
C={x│x是不能被2整除的整數(shù)},
或者
C={2n+1│n是整數(shù)},
C={2n-1│n是整數(shù)}.
一般地,用特征性質(zhì)α表示集合A的形式是:
A={x│x具有性質(zhì)α}.
2.集合之間的關(guān)系和運算
(1)包含與子集
(i)你班上的同學(xué)的集合和你學(xué)校的同學(xué)的集合之間的關(guān)系是:前者是后者的子集,后者包含前者.
(ii)設(shè)集合
例1 設(shè)A={1,2,3,4},試寫出A的所有子集.
{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{1,3,4},{1,2,3,4}.
(2)交集運算
對于給定的集合A,B,由它們的公共元素所構(gòu)成的集合叫作集合A與B的交集.我們用A∩B表示A,B的交集(圖2-88).例如
(i)如圖2-89,設(shè)
A={x│x是12的正因數(shù)},
B={x│5<x<13,x是整數(shù)},
則
A={1,2,3,4,6,12},B={6,7,8,9,10,11,12}.
所以 A∩B={6,12}.
(ii)設(shè)l1,l2是平面上兩條不同的直線,則l1∩l2就是由它們的交點組成的集合.
如果l1與l2相交于一點P,則l1∩l2={P}(圖2-90);
(3)并集運算
對于給定的兩個集合A,B,把它們所含的元素合并起來所構(gòu)成的集合,叫作集合A,B的并集,我們用符號A∪B表示A,B的并集(圖2-92).例如
(i)設(shè)M,N分別表示你班上男生、女生的集合,那么M∪N就是你班上同學(xué)的集合.
(ii)設(shè)
A={1,3,5,7,9},B={2,3,4,5,6},
則 A∪B={1,2,3,4,5,6,7,9}.
注意 在求上述集合A,B的并集時,雖然在A,B中都有3和5,但在A∪B中,3,5只取一次.
(iii)設(shè)E={x│x是實數(shù),且x≥4},
F={x│x是實數(shù),且x≤-4},G={x│x2≥16}.
則 E∪F=G.
一般地說,如果α,β分別是集合A,B的特征性質(zhì),即
A={x│x具有性質(zhì)α} ,B={x│x具有性質(zhì)β},則A∪B就是那些具有性質(zhì)α或性質(zhì)β的元素組成的集合,也就是
A∪B={x│x具有性質(zhì)α或β},
或者
A∪B={x│x∈A或x∈B}.
例2 設(shè)
A={x│x是12的正因數(shù)},B={x│x是18的正因數(shù)},
C={x│0≤x≤5,且x∈Z}.
求:(1)A∩B∩C;(2)A∪B∪C.
解 根據(jù)已知條件,用填文氏圖各區(qū)域的元素的方法來解決(如圖2-93(a),(b)).
(1)A∩B∩C={1,2,3};
(2)A∪B∪C={0,1,2,3,4,5,6,9,12,18}.
例3 設(shè)A={1,a,a2} ,B={1,a,b),假定A,B中的元素都是整數(shù),并且A∩B={1,3},A∪B={1,a,2a,3a},求a,b的值.
解 因為A={1,a,a2},B={1,a,b},所以
A∩B={1,a}.
已知A∩B={1,3}.所以a=3.又由于
A∪B={1,a,b,a2}={1,a,2a,3a}={1,3,6,9},所以b=6.
§17.2簡易邏輯
邏輯一詞是LOGIC的音譯,它是研究思維法則的一門學(xué)科.數(shù)學(xué)和邏輯的關(guān)系非常密切,在此,對邏輯知識做一些初步介紹.
1.推出關(guān)系
如果設(shè)A={x│x是4的倍數(shù)},B={x│x是2的倍數(shù)},則A中元素具有性質(zhì)α――4的倍數(shù);B中元素具有性質(zhì)β――2的倍數(shù).我們知道:如果某元素x是4的倍數(shù),那么x一定是2的倍數(shù),即具有性質(zhì)
一般地說,如果具有性質(zhì)α的元素也具有性質(zhì)β,我們便說由α推
下面再舉一個例子.
2.命題和證明
(1)命題和逆命題
人們在思維活動中,經(jīng)常要對客觀事物做出判斷.例如:
(i)雪是白的;
(ii)如果∠1和∠2是對頂角,那么∠1=∠2;
(iii)3+4=6;
上述所列都是對客觀事物做出判斷的語句.人們對客觀事物的情況做出判斷可能是正確的(真),也可能是錯誤的(假).我們把肯定或否定的判斷語句叫作命題.上述語句(i),(ii),(iii),(iv)都是命題.
關(guān)于命題的真假性,有些容易判斷,如(i),(ii)是真命題,(iii)是假命題.但對(iv)的真假性就不是顯然可判斷的.可通過設(shè)x=1,y=0(x>y),那么
因此,命題(iv)為假命題(注意:證明一個命題為真命題,必須通過邏輯推演,但要證明一個命題為假命題只須舉出一個反例即可).
數(shù)學(xué)命題具有多種形式,經(jīng)常采用的命題形式是“若α,則β”,“如果α,那么β”.
命題“若α,則β”或是真命題,或是假命題,二者必居其一.“若
當由α不可能推出β時,“若α,則β”便是假命題.
在命題“若α,則β”中,α叫作這個命題的條件,β叫作這個命題的結(jié)論.如果將命題“若α,則β”的條件和結(jié)論互換,就得到一個新命題“若β,則α”,這兩個命題之間具有互連關(guān)系,其中一個叫作原命題時,則另一個命題就叫作這個原命題的逆命題.
當“如果α,則β”為真命題時,它的逆命題“如果β,則α”不一定是真命題.例如:
(i)“如果2×3=6,那么6÷3=2”是真命題.它的逆命題“如果6÷3=2,那么2×3=6”也是真命題.
(ii)“若a=0并且b=0,則ab=0”是真命題,但它的逆命題“若ab=0,則a=0并且b=0”就不是真命題.
(iii)“如果∠1,∠2是對頂角,那么∠1=∠2”是真命題,但它的逆命題“∠1=∠2,那么∠1,∠2是對頂角”就是假命題.
(2)證明
我們要說明“若α,則β”是真命題時,以什么方式來推證呢?最常用的基本格式就是推出關(guān)系的傳遞性,即:
如果
那么
例如,(i)若
∠1和∠2是對頂角,①
對頂角相等,②
則 ∠1=∠2.③
(ii) 張三是人,①
凡人必有死,②
所以張三必有死.③
上述推理格式叫作三段論式,推理中的①,②是兩個前提條件,①叫小前提,②叫大前提,③是由①,②推出的結(jié)論.
實際上,三段論式和推出關(guān)系的傳遞性是一致的.例如“對頂角相等”的證明過程,可以像下面這樣來理解.
已知:∠1是∠2的對頂角(圖2-98),求證:∠1=∠2.
證
從上述證明過程可知,要證明“若α,則β”,我們先設(shè)法找出一
應(yīng)用已經(jīng)被確認的正確命題和已知條件作根據(jù),經(jīng)過推演,導(dǎo)出某一命題成立,這種方法就叫作演繹推理法(簡稱演繹法).演繹法是證明數(shù)學(xué)問題的重要方法.
。a2+b2+c2
(a+b-c)2=a2+b2+c2.
例2 某校數(shù)學(xué)競賽,A,B,C,D,E,F,G,H八位同學(xué)獲得了前八名,老師叫他們猜一下誰是第一名.A說:“或者F,或者H是第一名.”B說:“我是第一名.”C說:“G是第一名.”D說:“B不是第一名.”E說:“A說的不對.”F說:“我不是第一名.”G說:“C不是第一名.”H說:“我同意A的意見.”老師說八個人中有三人猜對了,那么試問第一名是誰?
分解與解 由已知條件可知:A與H同真假,E與F同真假,B與D必定一真一假.
(i)如果A與H猜對了,那么D與G也都猜對了.這樣就有四人猜對,不合題意,因此,A與H必定都猜錯了.
(ii)如果E與F猜對了,即F與H都不是第一名,這時若B猜對了,那么D就猜錯了,C也猜錯了,G猜對了,這樣,就有E,F,B,G四人猜對,也與題意不符.因此B猜的不對,D猜對了,這時已有E,F,D三人猜對,所以G,C都必定猜錯了,所以C是第一名.
練習(xí)十七
1.已知A={1,2,3,4,5},B={1,3,5,7},C={2,3,5,8} ,寫出集合:
(1)A∩B∩C; (2)A∪B∪C;
(3)A∩(B∪C);(4)A∪(B∩C).
3.有某種產(chǎn)品100個,通過兩種檢查,第一種檢查合格品有90個,第二種檢查合格品有78個,兩種檢查都合格的有72個.試問這100個產(chǎn)品中,通過兩種檢查都不合格的產(chǎn)品有多少個?
(1)a>0□│a│>0;
(2)a=0且b=0□a2+b2=0;
(3)(x-a)(x-b)=0□x=a或x=b;
(4)如果α>1,β>2,γ>3,那么,α□γ,β□α,β□γ.
5.寫出下列命題的逆命題,并指出其真假.
(1)若a=b,則(a-b)2 =0;
(2)若a=b,則a2-b2=0;
(3)若a≠b,則a2+b2>2ab;
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