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如何解決初中數學難點之應用題?

來源:本站原創 作者:網友投稿 2005-10-04 21:53:19

中考真題

智能內容

  應用題聯系實際,生動地反映了現實世界的數量關系,能否從具體問題中歸納出數量關系,反映了一個人分析問題、解決問題的實際能力.

  列方程解應用題,一般應有審題、設未知元、列解方程、檢驗、作結論等幾個步驟.下面從幾個不同的側面選講一部分競賽題,從中體現解應用題的技能和技巧.

  一.合理選擇未知元

  例1  (1983年青島市初中數學競賽題)某人騎自行車從A地先以每小時12千米的速度下坡后,以每小時9千米的速度走平路到B地,共用55分鐘.回來時,他以每小時8千米的速度通過平路后,以每小時4千米的速度上坡,從B地到A地共用1.5小時,求A、B兩地相距多少千米?

 

 


 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例2  (1972年美國中學數學競賽題)若一商人進貨價便誼8%,而售價保持不變,那么他的利潤(按進貨價而定)可由目前的x%增加到(x+10)%,x等于多少?

  解  本題若用直接元x列方程十分不易,可引入輔助元進貨價M,則0.92M是打折扣的價格,x是利潤,以百分比表示,那么寫出售貨價(固定不變)的等式,可得:
M(1+0.01x)=0.92M[1+0.01(x+10)].

  約去M,得1+0.01x=0.92[1+01.1(x+10)].

  解之,得   x=15.

  例3  在三點和四點之間,時鐘上的分針和時針在什么時候重合?

 

  例4(1985年江蘇東臺初中數學競賽題)從兩個重為m千克和n千克,且含銅百分數不同的合金上,切下重量相等的兩塊,把所切下的每一塊和另一種剩余的合金加在一起熔煉后,兩者的含銅百分數相等,問切下的重量是多少千克?

  解  采用直接元并輔以間接元,設切下的重量為x千克,并設m千克的銅合金中含銅百分數為q1,n千克的銅合金中含銅百分數為q2,則切下的兩塊中分別含銅xq1千克和xq2千克,混合熔煉后所得的兩塊合金中分別含銅[xq1+(n-x)q2]千克和[xq2+(m-x)q1]千克,依題意,有:

 
 
  二.多元方程和多元方程組

  例5 (1986年揚州市初一數學競賽題)A、B、C三人各有豆若干粒,要求互相贈送,先由A給B、C,所給的豆數等于B、C原來各有的豆數,依同法再由B給A、C現有豆數,后由C給A、B現有豆數,互送后每人恰好各有64粒,問原來三人各有豆多少粒?

  解  設A、B、C三人原來各有x、y、z粒豆,可列出下表:

 


  解得:x=104,y=56,z=32.

  答:原來A有豆104粒,B有56粒,C有32粒.

  例6(1985年寧波市初中數學競賽題)某工廠有九個車間,每個車間原有一樣多的成品,每個車間每天能生產一樣多的成品,而每個檢驗員檢驗的速度也一樣快,A組8個檢驗員在兩天之間將兩個車間的所有成品(所有成品指原有的和后來生產的成品)檢驗完畢后,再去檢驗另兩個車間的所有成品,又用了三天檢驗完畢,在此五天內,B組的檢驗員也檢驗完畢余下的五個車間的所有成品,問B組有幾個檢驗員?

  解  設每個車間原有成品x個,每天每個車間能生產y個成品;則一個車間生產兩天的所有成品為(x+2y)個,一個車間生產5天的所有成品為(x+5y)個,由于A組的8個檢驗員每天的檢驗速度相等,可得

 

  答:B組有12個檢驗員.

  三.關于不等式及不定方程的整數解

  例7(1985年武漢市初一數學競賽題)把若干顆花生分給若干只猴子,如果每只猴子分3顆,就剩下8顆;如果每只猴子分5顆,那么最后一只猴子得不到5顆,求猴子的只數和花生的顆數.

  解:設有x只猴子和y顆花生,則:
                      y-3x=8,            ①
                      5x-y<5,          ②
   由①得:y=8+3x,                       ③
③代入②得5x-(8+3x)<5,
∴               x<6.5

  因為y與x都是正整數,所以x可能為6,5,4,3,2,1,相應地求出y的值為26,23,20,17,14,11.

  經檢驗知,只有x=5,y=23和x=6,y=26這兩組解符合題意.

  答:有五只猴子,23顆花生,或者有六只猴子,26顆花生.

  例8(1986年上海初中數學競賽題)在一次射箭比賽中,已知小王與小張三次中靶環數的積都是36,且總環數相等,還已知小王的最高環數比小張的最高環數多(中箭的環數是不超過10的自然數),則小王的三次射箭的環數從小到大排列是多少?
 
  解  設小王和小張三次中靶的環數分別是x、y、z和a、b、c,不妨設x≤y≤z,a≤b≤c,由題意,有:


  
  因為環數為不超過10的自然數,首先有z≠10,否則與①式矛盾.

  若設z=9,則由①知:xy=4,

  ∴x=2,y=2,或x=1,y=4,

  ∴x+y+z=13或x+y+z=14.

  又由②及c<z知,c|36,∴c=6,這時,ab=6.

  ∴a=2,b=3,或a=1,b=6

  ∴a+b+c=11或a+b+c=13

  又由③知:x+y+z=a+b+c=13

  ∴取x=2,y=2,z=9.

  答:小王的環數分別為2環,2環,9環.

  例9(1980年蘇聯全俄第6屆中學生物理數學競賽題)一隊旅客乘坐汽車,要求每輛汽車的乘客人數相等,起初,每輛汽車乘了22人,結果剩下一人未上車;如果有一輛汽車空車開走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各車上,已知每輛汽車最多只能容納32人,求起初有多少輛汽車?有多少名旅客?

  解  設起初有汽車k輛,開走一輛空車后,平均每輛車所乘的旅客為n名,顯然,k≥2,n≤32,由題意,知:22k+1=n(k-1),

 
 
  ∴k-1=1,或k-1=23,

  即k=2,或k=24.

  當k=2時,n=45不合題意,

  當k=24時,n=23合題意,

  這時旅客人數為n(k-1)=529.

  答:起初有24輛汽車,有529名旅客

  四.應用題中的推理問題

  競賽中常見的應用題不一定是以求解的面目出現,而是一種邏輯推理型.解答這類題目不僅需要具備較強的分析綜合能力,還要善于用準確簡練的語言來表述自己正確的邏輯思維.

  例10(1986年加拿大數學競賽題)有一種體育競賽共含M個項目,有運動員A、B、C參加,在每個項目中,第一、二、三名分別得p1、p2、p3分,其中p1、p2、p3為正整數且p1>p2>p3,最后A得22分,B與C均得9分,B在百米賽中取得第一,求M的值,并問在跳高中誰取得第二名?

  分析  考慮三個得的總分,有方程:

  M(p1+p2+p3)=22+9+9=40,           ①

  又        p1+p2+p3≥1+2+3=6,    ②

  ∴6M≤M(p1+p2+p3)=40,從而M≤6.

  由題設知至少有百米和跳高兩個項目,從而M≥2,

  又M|40,所以M可取2、4、5.

  考慮M=2,則只有跳高和百米,而B百米第一,但總分僅9分,故必有:9≥p1+p3,∴≤8,這樣A不可能得22分.

  若M=4,由B可知:9≥p1+3p3,又p3≥1,所以p1≤6,若p1≤5,那么四項最多得20分,A就不可能得22分,故p1=6.

  ∵4(p1+p2+p3)=40,∴p2+p3=4.

  故有:p2=3,p3=1,A最多得三個第一,一個第二,一共得分3×6+3=21<22,矛盾.

  若M=5,這時由5(p1+p2+p3)=40,得:

  p1+p2+p3=8.若p3≥2,則:

  p1+p2+p3≥4+3+2=9,矛盾,故p3=1.

  又p1必須大于或等于5,否則,A五次最高只能得20分,與題設矛盾,所以p1≥5.

  若p1≥6,則p2+p3≤2,這也與題設矛盾,∴p1=5,p2+p3=3,即p2=2,p3=1.

  A=22=4×5+2.

  故A得了四個第一,一個第二;

  B=9=5+4×1,

  故B得了一個第一,四個第三;

  C=9=4×2+1,

  故C得了四個第二,一個第三.

                             練習題

1.選擇題

(1)打開A、B、C每一個閥門,水就以各自不變的速度注入水槽.當所有三個閥門都打開時,注滿水槽需1小時;只打開A、C兩個閥門,需要1.5小時;如果只打開B、C

兩個閥門,需要2小時,若只打開A、B兩個閥門時,注滿水槽所需的小時數是(  ).

(A)1.1 (B)1.15  (C)1.2   (D)1.25      (E)1.75

(2)兩個孩子在圓形跑道上從同一點A出發,按相反方向運動,他們的速度是每秒5英尺和每秒9英尺,如果他們同時出發并當他們在A點第一次再相遇的時候結束,那么

他們從出發到結束之間相遇的次數是(  ).

(A)13    (B)25     (C)44      (D)無窮多      (E)這些都不是

(3)某超級市場有128箱蘋果,每箱至少120只,至多144只,裝蘋果只數相同的箱子稱為一組,問其中最大一組的箱子的個數n,最小是(  )

(A)4      (B)5     (C)6     (D)24      (E)25

(4)兩個相同的瓶子裝滿酒精溶液,在一個瓶子中酒精與水的容積之比是p:1,而在另一個瓶子中是q:1,若把兩瓶溶液混合在一起,混合液中的酒精與水的容積之比是(  ).


 
(5)汽車A和B行駛同樣的距離,汽車A以每小時u千米行駛距離的一半并以每小時υ千米行駛另一半,汽車B以每小時u千米行駛所行時間的一半并以每小時υ千米行駛另一半,汽車A的平均速度是每小時x千米,汽車B的平均速度是每小時y千米,那么我們總有(  )

(A)x≤y         (B)x≥y       (C)x=y        (D)x<y      (E)x>y

2.填空題

(1)已知鬧鐘每小時慢4分鐘,且在3點半時對準,現在正確時間是12點,則過正確時間______分鐘,鬧鐘才指到12點上.

(2)若b個人c天砌f塊磚,則c個人用相同的速度砌b塊磚需要的天數是____.

(3)某人上下班可乘火車或汽車,若他早晨上班乘火車則下午回家乘汽車;又假若他下午回家乘火車則早晨上班乘汽車,在x天中這個人乘火車9次,早晨乘汽車8次,下午乘汽車15次,則x=_______.

(4)一個年齡在13至19歲之間的孩子把他自己的年齡寫在他父親年齡的后面,從這個新的四位數中減去他們年齡差的絕對值得到4289,他們年齡的和為______.

(5)一個城鎮的人口增加了1200人,然后這新的人口又減少了11%,現在鎮上的人數比增加1200人以前還少32人,則原有人口為_____人.

3.(1982-1983年福建省初中數學競賽題)一個四位數是奇數,它的首位數字小于其余各位數字,而第二位數字大于其余各位數字,第三位數字等于首末兩位數字之和的二倍,求此四位數.

4.(第2屆《祖沖之杯》)甲乙兩人合養了幾頭羊,而每頭羊的賣價又恰為n元,兩人分錢方法如下:先由甲拿10元,再由乙拿10元,如此輪流,拿到最后,剩下不足十元,輪到乙拿去,為了平均分配,甲應該分給乙多少錢?

5.(1986年湖北省荊州地區初中數學競賽題)完成同一工作,A獨做所需時間為B與C共同工作所需時間的m倍,B獨做所需時間為A與C共同工作所需時間的n倍,C獨做所需時間為A與B共同工作所需時間的x倍,用m,n表示出x來.

6.(1988年江蘇省初中數學競賽題)今有一個三位數,其各位數字不盡相同,如將此三位數的各位數字重新排列,必可得一個最大數和一個最小數(例如,427,經重新排列得最大數742,最小數247),如果所得最大數與最小數之差就是原來的那個三位數,試求這個三位數.

7.(1978年四川省數學競賽題)某煤礦某一年產煤總量中,除每年以一定數量的煤作為民用、出口等非工業用途外,其余留作工業用煤,按照該年度某一工業城市的工業用煤總量為標準計算,可供這樣的三個工業城市用六年,四個這樣的城市用五年(當然每年都要除去非工業用煤的那一個定量),問如果只供一個城市的工業用煤,可以用多少年?
 
練習題答案

1.A.C.E.A.

 


7.設該煤礦該年度產煤總量為x,每年非工業用煤量為y,該工業城市該年工業用煤量為z,并設只供這樣一個城市工業用煤可用p年,由題意得方程組:

 

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