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初二數學(上)知識點:一次函數

來源:中考網 作者:紫涵 2012-11-06 18:07:51

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  一次函數定義:一般地,形如y=kx+b(k、b是常數  ,k≠0)的函數,叫一次函數。

  (存在條件: ①兩個變量x、y,       ②k、b是常數且k≠0,

  ③自變量x的次數是1,④自變量x的是整式形式)

  一次函數與正比例函數關系: 正比例函數包含于一次函數,即正比例函數是一次函數;正比例函數是一次函數當b=0時的特殊情況。

  一次函數性質:以下各條性質反之也成立。

  ①圖像形:是一條直線。稱為直線y=kx+b

  ②象限性:

  當k>0、b>0時,直線經過第一、二、三象限,不過四象限。

  當k>0、b<0時,直線經過第一、三、四象限。不過二象限

  當k<0 、b>0時,直線經過第一、二,四象限。不過三象限

  當k<0 、b<0時,直線經過第二,三、四象限。不過一象限

  ③增減性:當k>0時,直線從左向右上升,隨著x的增大(減小)  y也增大(減小)

  當k<0時,直線從左向右下降。隨著x的增大(減小)  y反而而減小(增大)

  ④連續性:由于自變量取值是全體實數,所以圖像具有連續性。(沒有最大或最小值)

  ⑤截距性;

  當b>0時,直線與y軸交于y軸正半軸(交點位于軸上方)

  當b<0時,直線與y軸交于y軸負半軸(交點位于軸下方)

  ⑥傾斜性:︱k︱越大,直線越靠向y軸,與x軸正方向的夾角度數越大,越陡。

  ⑦平移性; 直線y=kx+b

  當b>0時,是由直線y=kx 向上平移得到的。

  當b<0時,是由直線y=kx 向下平移得到的。

  ⑧平行性:       ,當 時, ∥

  待定系數法:先設出函數解析式,在根據條件確定解析式中的未知的系數,從而寫出這個式子的方法,叫待定系數法。

  用待定系數法確定解析式的步驟:

  ①設函數表達式為:y=kx  或  y=kx+b

  ②將已知點的坐標代入函數表達式,得到方程(組)

  ③解方程或組,求出待定的系數的值。

  ④把的值代回所設表達式,從而寫出需要的解析式。

  注意; 正比例函數y=kx只要有一個條件就可以。而一次函數y=kx+b需要有兩個條件。

  一次函數與一元一次方程的關系

  一元一次方程ax+b=0(a,b為常數,且a≠0)可看作一次函數y=ax+b的函數值是0的一種特例,其解是直線y=ax+b與x軸交點的橫坐標,所以解一元一次方程ax+b=0可以轉化為當一次函數y=ax+b的值為0時,求相應自變量x的值,因此可以利用圖像來解一元一次方程。
 


  求直線y=kx+b與x軸交點時,可令y=0,得到一元一次方程kx+b=0,解方程得x=- ,則- 就是直線y=kx+b與x軸交點的橫坐標。

  反過來解一元一次方程也可以看作是求直線y=kx+b與x軸交點的橫坐標的值。

  一次函數與一元一次不等式的關系

  一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0(a,b為常數,且a≠0)可看作一次函數y=ax+b的函數值大于0或小于0的情形,所以解一元一次不等式可以轉化為當一次函數y=ax+b的值大于0或小于0時,求相應自變量x的范圍,因此可以利用圖像來解一元一次不等式。

  一次函數y=kx+b,當y>0時,成為一元一次不等式kx+b>0;

  一次函數y=kx+b,當y<0時,成為一元一次不等式kx+b<0;

  kx+b>0的解集是一次函數y=ax+b的函數值為正值時的自變量x的取值范圍,對應函數圖像在x軸上方;

  kx+b<0的解集是一次函數y=ax+b的函數值為負值時,自變量x的取值范圍,對應函數圖像在x軸下方。

  一次函數與二元一次方程(組)的關系

  每個二元一次方程都可以轉化為一個一次函數,對應著一條直線;二元一次方程組可以轉化為兩個一次函數,對應著兩條直線。從“數”的角度看是解方程組的過程,從“形”的角度看,解方程組可以看作兩條直線交點坐標,因此可以利用圖像來解二元一次方程組。

  二元一次方程 kx-y+b =0 (k≠0 ) 的解與一次函數 y=kx+b (k≠0 )圖像上點坐標是一一對應的。

  用圖像求二元一次方程(組)的近似解方法

  ①先把方程組中的兩個二元一次方程化成一次函數的形式: 和

  ②建立平面直角坐標系,畫出這兩個一次函數的圖像;

  ③寫出交點的橫縱坐標,橫坐標的值就是方程組x的解,縱坐標的值就是方程組y的解

  ④寫出方程組的解。

 

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