1955年,卡普耶卡D.R.Kaprekar)研究了對四位數的一種變換:任給出四位數k 0

,用它的四個數字由大到小重新排列成一個四位數m,再減去它的反序數revm),得出數k1=m-revm),然后,繼續對k 1

重復上述變換,得數k 2

.如此進行下去,卡普耶卡發現,無論k 0

是多大的四位數,

只要四個數字不全相同,最多進行7次上述變換,就會出現四位數6174.例如:

k 0

=5298, k 1

=9852-2589=7263, k 2

=7632-2367=5265, k 3

=6552-2556=3996, k 4

=9963-3699=6264, k 5

=6642-2466=4176, k 6

=7641-1467=6174.

后來,這個問題就流傳下來,人們稱這個問題為;6174問題;,上述變換稱為卡普耶卡變換,簡稱 K 變換.

一般地,只要在0,1,2,...,9中任取四個不全相等的數字組成一個整數k0不一定是四位數),然后從k0開始不斷地作K變換,得出數k1,k2,k3,...,則必有某個mm=<7),使得km=6174.

更一般地,從0,1,2,...,9中任取n個不全相同的數字組成一個十進制數k0不一定是n位數),然后,從k0開始不斷地做K變換,得出k1,k2,...,那么結果會是怎樣的呢?現在已經知道的是:

n=2,只能形成一個循環:27,45,09,81,63).例如取兩個數字7與3,連續不斷地做K變換,得出:36,27,45,09,81,27,...出現循環.

n=3,只能形成一個循環:495).

n=4,只能形成一個循環:6174).

n=5,已經發現三個循環:53855,59994),62964,71973,83952,74943),63954,61974,82962,75933).

n=6,已經發現三個循環:642654,...),631764,...),549945,...).

n=7,已經發現一個循環:8719722,...).

n=8,已經發現四個循環:63317664),97508421),83208762,...),86308632,...)

n=9,已經發現三個循環:864197532),975296421,...),965296431,...) #p#分頁標題#e#

容易證明,對于任何自然數n>=2,連續做K變換必定要形成循環.這是因為由n個數字組成的數只有有限個的緣故.但是對于n>=5,循環的個數以及循環的長度指每個循環中所包含數的個數)尚不清楚,這也是國內一些數學愛好者熱衷于研究的一個課題.

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