構造一元二次方程解題是一種重要的數學方法，其應用非常廣泛，用法非常靈活。這里舉例說明如何用這一方法解決有關問題。

一、巧求代數式的值

例1. 已知實數m、n滿足 求 的值。

分析：注意到兩個等式的系數特點，可以先化為對應相等的形式，再構造恰當的一元二次方程。

解：顯然 ，因此 可化為

由 知 ，又因為 ，所以 、 是關于x的方程 的兩個不等式實數根。根據根與系數的關系，得

例2. 已知實數a、b滿足 ， ，求 的值。

分析：注意本題的條件可以提煉出兩個數的和與積的形式，逆用根與系數的關系構造一元二次方程。

解：由 得 ;

由 得

于是 、 是關于x的方程 的兩個根。

解得

當 時，

;

當 時，#p#分頁標題#e#

。

注：上述兩例給出了兩種構造一元二次方程的常用方法與思路。一種是應用方程根的意義，一種是逆用根與系數的關系。

二、巧求代數式的取值范圍

例3. 已知實數a、b、c滿足 ， ，求c的范圍。

分析：注意到條件中出現了 、ab的形式，可以構造出符合條件的一元二次方程，然后應用判別式求解。

解：由條件可知 (顯然 )，于是a、b是關于x的方程 的兩個實數根。

因此判別式

(1)如果 ，則(*)式總成立;

(2)如果 ，則(*)式可化為 。

由(1)、(2)可知c的取值范圍是 或 。

注：構造出符合題意的二次方程后，經常要綜合考慮應用判別式求解問題。

三、巧證明等式問題

例4. 已知 ，求證 。

分析：注意到條件的形式，聯想到 ，據此可以構造出符合條件的一元二次方程進行求解。

證明：(1)若 ，則由條件容易得 ，因此 成立。

(2)若 ，則關于x的方程 (*)的判別式為 ，因此方程(*)有兩個相等實數根。又因為方程(*)的系數符合#p#分頁標題#e# ，因此方程(*)的解是 。于是根據根與系數的關系有 ，即 。

由(1)(2)可知 成立。

注：本題分兩種情況討論是很有必要的。應用一元二次方程 的判別式解題時，一定要確保二次項系數 。

四、巧證明不等式問題

例5. 已知正數 滿足條件 。求證： 。

分析：注意到 ，可以構造一根為1的二次方程解決本題。

證明：由 得 ，可知關于t的一元二次方程 一定有一個實數根為1。

于是 。

同理可證明 。

由 為正數知 ，

所以 。

注：應用構造一元二次方程法證明不等式時，多是結合根的判別式論證。

五、巧判斷三角形形狀

例6. 已知 的三邊a,b,c滿足 ，試判斷 是什么三角形(按邊分類)，并證明你的結論。

分析：條件中出現了b，c的和與積，據此可構造出符合題意的方程。

解：由條件 可知，b、c是關于x的一元二次方程 的兩個實數根。#p#分頁標題#e#

則 ，

即 ，事實上 ，于是只有 。此時方程的兩實數根相等，即 。

由 知 ，所以 是等腰三角形。

注：判斷三角形形狀是 、競賽中常見題型，要多加注意。

六、巧證明幾何問題

例7. 如圖1，過正方形ABCD的頂點C作任意一條直線與AB、AD的延長線分別交于點E、F。求證： 。

分析：注意到要證明的不等式的形式，可聯想到一元二次方程的判別式。

證明：設正方形的邊長為a，連AC。

因為 ，所以有

。

即 。

從而AE、AF可視為關于x的一元二次方程 的兩個實數根。所以該方程的判別式

得 ，即 。

例8. 如圖2，已知四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，若 。求證： 。

分析：若設 ，問題轉化為求 的最小值問題。設 ，再求出 的值即可構造出符合條件的方程。#p#分頁標題#e#

證明：設 。

因為 ，所以 ，即 。

于是m，n是關于x的一元二次方程 的兩個實數根。則

，

注意k為正數，得 ，

于是 。

因此 。

注：應用構造一元二次方程的方法解決一些幾何中的不等式問題，的確讓我們有耳目一新的感覺，有益于訓練大家思維的發散性、創新性。

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