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初中數(shù)學(xué)三角形、四邊形、圓輔助線的添加方法,幫你輕松拿下壓軸

來源:網(wǎng)絡(luò)資源 作者:中考網(wǎng)整理 2019-08-20 11:14:21

中考真題

智能內(nèi)容
  01
 
  三角形中常見輔助線的添加
 
  1. 與角平分線有關(guān)的
 
  (1) 可向兩邊作垂線。
 
  (2)可作平行線,構(gòu)造等腰三角形
 
  (3)在角的兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形
 
  2. 與線段長度相關(guān)的
 
  (1)截長:證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時,經(jīng)常在較長的線段上截取一段,使得它和其中的一條相等,再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可
 
  (2)補短:證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時,也可以在較短的線段上延長一段,使得延長的部分等于另外一條較短的線段,再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可
 
  (3)倍長中線:題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線,方法是將中線延長一倍,再將端點連結(jié),便可得到全等三角形。
 
  (4)遇到中點,考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。
 
  3. 與等腰等邊三角形相關(guān)的
 
  (1)考慮三線合一
 
  (2)旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù),構(gòu)造全都三角形,等腰一般旋轉(zhuǎn)頂角的度數(shù),等邊旋轉(zhuǎn)60 °
 
  02
 
  四邊形中常見輔助線的添加
 
  特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形。在解決一些和四邊形有關(guān)的問題時往往需要添加輔助線。下面介紹一些輔助線的添加方法。
 
  1. 和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法
 
  平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一,它有許多可以利用性質(zhì),為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形。
 
  (1) 利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形
 
  (2)利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形
 
  (3)利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形
 
  2. 與矩形有輔助線作法
 
  (1)計算型題,一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題。
 
  (2)證明或探索題,一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題。和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少。
 
  3. 和菱形有關(guān)的輔助線的作法
 
  和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線,借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題。
 
  (1)作菱形的高
 
  (2)連結(jié)菱形的對角線
 
  4. 與正方形有關(guān)輔助線的作法
 
  正方形是一種完美的幾何圖形,它既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,有關(guān)正方形的試題較多。解決正方形的問題有時需要作輔助線,作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線。
 
  5. 與梯形有關(guān)的輔助線的作法
 
  和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型:
 
  (1)作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形
 
  (2)作梯形的高,構(gòu)造矩形和直角三角形
 
  (3)作一對角線的平行線,構(gòu)造直角三角形和平行四邊形
 
  (4)延長兩腰構(gòu)成三角形
 
  (5)作兩腰的平行線等
 
  03
 
  圓中常見輔助線的添加
 
  1. 遇到弦時(解決有關(guān)弦的問題時)
 
  常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半徑(或直徑)或再連結(jié)過弦的端點的半徑。
 
  作用:
 
  ①  利用垂徑定理
 
  ②  利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系
 
  ③  利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形,根據(jù)勾股定理求有關(guān)量
 
  2. 遇到有直徑時
 
  常常添加(畫)直徑所對的圓周角
 
  作用:利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形
 
  3. 遇到90度的圓周角時
 
  常常連結(jié)兩條弦沒有公共點的另一端點
 
  作用:利用圓周角的性質(zhì),可得到直徑
 
  4. 遇到弦時
 
  常常連結(jié)圓心和弦的兩個端點,構(gòu)成等腰三角形,還可連結(jié)圓周上一點和弦的兩個端點
 
  作用:
 
  ①可得等腰三角形
 
  ②據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角
 
  5. 遇到有切線時
 
  常常添加過切點的半徑(連結(jié)圓心和切點)
 
  作用:利用切線的性質(zhì)定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形
 
  常常添加連結(jié)圓上一點和切點
 
  作用:可構(gòu)成弦切角,從而利用弦切角定理。
 
  6. 遇到證明某一直線是圓的切線時
 
  (1) 若直線和圓的公共點還未確定,則常過圓心作直線的垂線段。
 
  作用:若OA=r,則l為切線
 
  (2) 若直線過圓上的某一點,則連結(jié)這點和圓心(即作半徑)
 
  作用:只需證OA⊥l,則l為切線
 
  (3) 有遇到圓上或圓外一點作圓的切線
 
  7. 遇到兩相交切線時(切線長)
 
  常常連結(jié)切點和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點、連結(jié)兩切點
 
  作用:據(jù)切線長及其它性質(zhì),可得到
 
  ①  角、線段的等量關(guān)系
 
  ②  垂直關(guān)系
 
  ③  全等、相似三角形
 
  8. 遇到三角形的內(nèi)切圓時
 
  連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點,或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段
 
  作用:利用內(nèi)心的性質(zhì),可得
 
  ① 內(nèi)心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線
 
  ② 內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等
 
  9. 遇到三角形的外接圓時
 
  連結(jié)外心和各頂點
 
  作用:外心到三角形各頂點的距離相等
 
  10. 遇到兩圓外離時
 
  (解決有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線的問題)常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線,或平移連心線
 
  作用:
 
  ①利用切線的性質(zhì);
 
  ②利用解直角三角形的有關(guān)知識
 
  11. 遇到兩圓相交時
 
  常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點和圓心等
 
  作用:
 
  ①利用連心線的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識
 
  ②  利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)
 
  ③  利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)
 
  ④ 垂徑定理
 
  12. 遇到兩圓相切時
 
  常常作連心線、公切線
 
  作用:
 
  ①利用連心線性質(zhì)
 
  ②切線性質(zhì)等
 
  13. 遇到三個圓兩兩外切時
 
  常常作每兩個圓的連心線
 
  作用:可利用連心線性質(zhì)
 
  14. 遇到四邊形對角互補或兩個三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時
 
  常常添加輔助圓
 
  作用:以便利用圓的性質(zhì)
 
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