梯形是一種特殊的四邊形,它是平行四邊形和三角形的“綜合”。可以通過適當地添加輔助線,構造三角形、平行四邊形,再運用三角形、平行四邊形的相關知識去解決梯形問題。下面就梯形中作輔助線的常用方法作一介紹,供參考。
一、 平移一腰
過梯形的一個頂點作一腰的平行線,構造一個三角形和一個平行四邊形,能使分散的條件集中起來,為解決梯形問題創造條件。
例1 如圖1,等腰梯形ABCD兩底之差等于一腰的長,那么這個梯形較小的一個內角是( )
A、90° B、60° C、45° D、30°
解析:由條件“兩底之差等于一腰的長”,可平移一腰。如圖2所示,平移DC到AE,AE交BC于E。可知BE=BC-AD=AB。又AB=DC=AE,故AB=BE=AE,△ABE是等邊三角形。所以∠B=60°。故選B。
二、平移兩腰
平移兩腰,使兩腰交于短底上一點,把梯形轉化為兩個平行四邊形和一個三角形,進而解決問題。
例2 如圖3,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC。E、F分別為AD、BC的中點,且EF⊥BC。求證:∠B=∠C。
解析:要證∠B=∠C,可把它們移到同一個三角形中,利用等腰三角形的有關性質加以證明。
過點E作EH∥AB,EG∥DC,分別交BC于H、G(如圖4)。
∵AD∥BC,∴四邊形ABHE和四邊形EGCD都是平行四邊形(兩組對邊平行)。
∴AE=BH,ED=GC。
又E、F分別為AD、BC的中點,所以AE=ED,BF=FC。
∴BH=GC,BF-BH=FC-GC,從而HF=FG。
又EF⊥BC,所以EH=EG,故∠EHF=∠EGF,得∠B=∠C。
評析:題目中若有連接兩底上點的線段,通常要平移兩腰。
三、平移對角線
過梯形底邊的一個端點作某一條對角線的平行線,可以構造出一個三角形和一個平行四邊形,引出解題思路。
例3 在梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC⊥BC,且AC=5cm,BD=12cm,則梯形中位線的長等于( )
A、7.5cm B、7cm C、6.5cm D、6cm
解析:由對角線垂直,可平移一條對角線(比如AC),構造出Rt△BDE和
ACED(如圖5)。由勾股定理可知BE=13cm,從而得到梯形中位線的長
等于BE的一半,即為6.5cm。故選C。
四、延長兩腰
延長兩腰相交于一點,可構造兩個三角形,再利用這兩個三角形的性質解決問題。
例4 在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,AD+BC=30,BD平分∠
ABC。求梯形的周長。
解析:延長兩腰相交于點E,如圖6,因∠ABC=∠BCD=60°,故∠E=60°。△BCE為等邊三角形。又BD平分∠ABC,所以BD垂直平分CE。
所以CD=。
又AD∥BC,故△ADE為等邊三角形。AD=ED=CD。由AD+BC=30,知CD+2CD=30,CD=10。
∴梯形的周長為30+AB+CD=30+2CD=50。
五、作梯形的高
過梯形短底的兩個端點作梯形的高,把梯形分成兩個直角三角形和一個矩形,可使解題思路明朗化。
例5 已知等腰梯形的一個內角為60°,它的上底是3cm,腰長是4cm,則下底是 。
解析:如圖7,梯形ABCD中,∠B=∠C=60°,AD=3cm,AB=DC=4cm,過點A、D分別作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分別為E、F。則有∠BAE=∠CDF=30°,BE=FC=
AB=2cm,
∴BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7(cm),即為所求。
六、連接兩腰中點
若題目中有一個或兩個腰的中點,可嘗試連接梯形兩腰的中點,得到梯形的中位線,利用中位線的性質解題。
例6 在梯形ABCD中,AB∥CD,點M為BC的中點,DM平分∠ADC。求證AM平分∠DAB。
解析:如圖8,取DA的中點N,連接MN,則MN∥CD,MN∥AB。所以∠NMD=∠MDC=∠MDN。故NM=ND=AN,∠NAM=∠NMA=∠MAB。故AM平分∠DAB。
練習
1、等腰梯形兩底差的一半等于它的高,那么這個梯形的一個內角是( )。
A、75° B、60° C、45° D、30°
2、如圖9,已知梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90°,M、N分別是AB、CD的中點。求證:MN=
(AB-CD)。
2020年數學學習方法:談梯形輔助線的作法
3、在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=8,AC=6,BD=8,求此梯形的高。
4、如圖10,在梯形ABCD中,∠DCB=90°,AB∥DC,AB=25,BC=24。將該梯形折疊,點A恰好與點D重合,BE為折痕。那么,AD的長為 。
2020年數學學習方法:談梯形輔助線的作法
5、例6變式練習:條件不變,結論改變。求證:(1)AM⊥DM;(2)AB+CD=AD。
提示:1、利用第五種作法。2、利用第二種作法,并利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。3、利用第三種作法,由勾股定理逆定理得出直角三角形,并利用面積公式
(a、b為直角邊長,c為斜邊長,h是斜邊上的高)。4、先在Rt△BCD中求出DC,再自D作DF⊥AB于F。在Rt△ADF中求AD。
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