一、知識框架
二、知識梳理與拓展應用
（一）函數
1．常量與變量
在某一變化過程中，可以取不同數值的量，叫作變量，數值保持不變的量叫作常量。如：在行程問題中，當速度υ保持不變時，行走的路程s與時間t是變量，速度v是常量。
關鍵提醒：
(1)變量和常量往往是相對的，相對于某個變化過程，比如s、v、t三者之間，在不同的研究過程中，作為變量與常量的身份是可以相互轉換的。
(2)常量、變量與字母的指數沒有關系，如
S＝πr2中，不能說自變量是r2
2．函數的概念
函數：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于π的每一確定的值，都有唯一確定的值ν與其對應，那么就說x是自變量，y是x的函數。當x＝a時，y＝b，那么b叫作當自變量的值為a時的函數值。
關鍵提醒：
對函數概念的理解，主要應該抓住以下三點：
①有兩個變量。
②一個變量的數值隨著另一個變量的數值變化而變化。
③每確定一個自變量的值，函數有且只有一個值與之對應(但可以有多個自變量數值對應一個函數值)。
3．自變量取值范圍的確定
在整式中，自變量為全體實數；分式中滿足分母不為零；開偶次方根滿足被開方數是非負數；在零指數冪中，底數不為零；在實際問題中，要滿足實際的意義。在具體問題中，一般要綜合上述幾種情況同時考慮。
關鍵提醒：
自變量的取值范圍可能是有限的，也可能是無限的，還可能是單獨個(或幾個)數的；在一個函數關系式中，同時有幾種代數式，函數自變量的取值范圍應是各種代數式中自變量取值范圍的公共部分。
4．函數的表示方法
數的表示方法有三種：解析法、列表法和圖像法。
(1)解析法：兩個變量之間的關系，有時可以用一個含有這兩個變量的等式表示，這種表示方法叫作解析法。
關鍵提醒：
解析法的優點是簡單明了的反映自變量與因變量的關系，不足是有的函數關系不一定能用解析法表示出來。
(2)列表法：把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系的方法叫作列表法。
關鍵提醒：
列表法的優點是一目了然，使用方便，不足是其列出的對應值是有限的，而且從表中不易看出自變量和函數之間的對應規律。
(3)圖像法：用圖像表示函數關系的方法叫作圖像法。
關鍵提醒：
圖像法的優點是形象直觀，不足是圖像是近似的、局部的。
5．函數的圖像
一般地，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖像。
關鍵提醒：
①：函數圖像上的點(x，y)與函數自變量x及對應函數值y的關系函數圖像上任意一點P(x，y)中的x和y的值滿足函數關系式；滿足函數關系式的x與y構成的點(x，y)必定在函數圖像上。
②：判斷點(x，y)是否在函數圖像上的方法是：將點的坐標(x，y)代入函數關系式，即自變量等于橫坐標x，函數值等于縱坐標y，如果滿足函數關系式，則這個點就在函數圖像上，否則這個點就不在函數圖像上。
（二）一次函數
1．一次函數和正比例函數的概念
(1)一次函數：一般地，形如y＝kx＋b(k、b為常數，且k≠0)的函數，叫作一次函數，其中x是自變量，y是x的函數。特別地，當b＝0時，y＝kx(k為常數，且k≠0)，y叫作x的正比例函數，由此可以看出，正比例函數是一種特殊的一次函數。
知識拓展：
自變量的取值范圍是任意實數；k≠0這個條件不可忽略。
2．一次函數解析式的求法
待定系數法：先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知系數的值，從而具體寫出這個式子的方法，叫作待定系數法。
關鍵提醒：
(1)在正比例函數y＝kx(k≠0，且k為常數)中，只有一個待定系數，所以確定正比例函數的解析式只需要一個條件即可。
(2)在一次函數y＝kx＋b(k、b為常數，且k≠0)中，有兩個待定系數k和b，因此確定一次函數的解析式需要兩個條件。
(3)要求k和b也可以利用圖像、文字信息建立k和b的二元一次方程組，求出k和b即可求出一次函數解析式。
3．從實際問題中確定一次函數的解析式(重點)
確定實際問題中的函數解析式一般與列方程解應用題類似。首先根據題意列出關于兩個變量的二元一次方程，再用含有自變量的式子表示函數，建立函數關系式時，要注意自變量的取值范圍。
4．一次函數y＝kx＋b (k≠0)的圖像及性質，如表1所示。
表1
5．正比例函數y＝kx(k≠0)圖像與一次函數圖像的關系
（1）將直線y＝kx沿y軸向上(或向下)平移|b|個單位，得到y＝kx＋b的圖像，當b＞0時，向上平移；當b＜0時，向下平移。
（2）直線y＝k1x＋b1與y＝k2x＋b2的關系：當k1＝k2，b1≠b2時，兩直線平行；當k1≠k2時，兩直線相交；當k1＝k2，b1＝b2時，兩直線重合。
6．一次函數的應用
一次函數是刻畫現實世界事物間關系的簡單數學模型，其應用非常廣泛。如現實生活中的電費、水費、電話費、納稅、儲蓄、行程、工程等問題，它們都是應用一次函數很好的實例。解決這類問題，常常根據題目所提供的信息，建立一次函數關系式，然后根據一次函數的性質，并綜合運用一次方程和一元一次不等式等知識解決問題。
7.一次函數與一元一次方程
由于任何一元一次方程都可以轉化為ax＋b＝0(a，b為常數，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值。從圖像上看，這相當于已知直線y＝ax＋b，確定它與x軸交點的橫坐標的值。
關鍵提醒：
在一次函數y＝kx十b中，y如果等于某一個確定的值，求自變量x的值，就要解一元一次方程。
8．一次函數與一元一次不等式
由于任何一元一次不等式都可以轉化為
ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b為常數，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數值大于(或小于)0時，求自變量相應的取值范圍。
知識拓展
解一元一次不等式可轉化為比較直線上點的位置的高低
9．一次函數與二元一次方程組
一般地，每個二元一次方程組都對應兩個一次函數，于是也對應兩條直線。從“數”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數的值相等，以及這個函數值是何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標。
（三）運用一次函數解決方案選擇問題
運用一次函數解決實際問題中方案的選擇問題，實際上是比較兩個函數y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2的函數值大小的問題。
比較y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2的函數值大小的常見方法有兩種：代數法和圖像法。
關鍵提醒：
兩個函數的圖像在同一坐標系中，圖像在交點處時，兩個函數中橫縱坐標值分別相等。哪一段圖像在上方，則在這一段，哪個圖像對應的函數值就大；反之亦然。
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