一、正數和負數

正數和負數的概念

負數：比0小的數;正數：比0大的數。

0既不是正數，也不是負數

☆注意：字母a可以表示任意數，當a表示正數時，-a是負數;當a表示負數時，-a是正數;當a表示0時，-a仍是0。強調：帶正號的數不一定是正數，帶負號的數不一定是負數。

具有相反意義的量

若正數表示某種意義的量，則負數可以表示具有與該正數相反意義的量。習慣把“前進、上升、收入、零上溫度”等規定為正，“后退、下降、支出、零下溫度”等規定為負.

二、有理數

有理數的概念

(1)正整數、0、負整數統稱為整數(0和正整數統稱為自然數)

(2)正分數和負分數統稱為分數

(3)整數和分數統稱有理數

☆注意：①π是無限不循環小數，不能寫成分數形式，不是有理數。②有限小數和無限循環小數都可化成分數，都是有理數。

數軸

(1)數軸的概念：規定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數軸。

注意：數軸是一條向兩端無限延伸的直線;

原點、正方向、單位長度是數軸的三要素，三者缺一不可;

數軸的三要素都是根據實際需要規定的，同一數軸上的單位長度要統一;

(2)數軸上的點與有理數的關系

所有的有理數都可以用數軸上唯一的點來表示，正有理數可用原點正方向的點表示，負有理數可用原點負方向的點表示，0用原點表示。

相反數

(1)只有符號不同的兩個數叫做互為相反數;0的相反數是0;任何一個有理數都有相反數

(2)互為相反數的兩數的和為0，即：若a、b互為相反數，則a+b=0;互為相反數的兩個點在數軸上分別位于原點兩側，并且與原點的距離相等。

(3)在一個數的前面加上負號“-”，就得到了這個數的相反數。a的相反數是-a。

(4)多重符號的化簡

多重符號的化簡規律：“+”號的個數不影響化簡的結果，可以直接省略;“-”號的個數決定最后化簡結果;即：“-”的個數是奇數時，結果為負，“-”的個數是偶數時，結果為正。

絕對值

(1)絕對值的幾何定義：數軸上表示數a的點與原點的距離，叫做a的絕對值，記作：|a|

(2)求絕對值：正數的絕對值是它本身，0的絕對值是0，負數的絕對值是它的相反數;可用字母表示為：①如果a>0，那么|a|=a; ②如果a<0，那么|a|=-a; ③如果a=0，那么|a|=0。

可歸納為①：a≥0時，|a|=a(非負數的絕對值等于本身;絕對值等于本身的數是非負數。) ②a≤0時，|a|=-a (非正數的絕對值等于其相反數;絕對值等于其相反數的數是非正數。)

(3)若幾個數的絕對值的和等于0，則這幾個數就同時為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。(非負數的常用性質：若幾個非負數的和為0，則有且只有這幾個非負數同時為0)

有理數比大小

(1)利用數軸表示兩數大小

在以向右為正方向的數軸上數的大小比較，右邊的數總比左邊的數大;

正數都大于0，負數都小于0，正數大于負數;

(2)數軸上特殊的最大(小)數

最小的自然數是0，無最大的自然數;

最小的正整數是1，無最大的正整數;

最大的負整數是-1，無最小的負整數

(3)利用絕對值比較兩個負數的大小：兩個負數比較大小，絕對值大的反而小;

(4)大數-小數 > 0，小數-大數 < 0。

三、有理數的加、減法運算

有理數加法

(1)同號兩數相加，取相同符號，并且把絕對值相加

(2)異號兩數相加，取絕對值大的數的符號，并且用較大的絕對值減去較小的絕對值

(3)互為相反數的兩數相加得0

☆

加法交換律：兩個有理數相加，交換加數的位置，和不變，a+b=b+a

加法結合律：三個有理數相加，先把前兩個數相加，再把結果與第三個數相加;或者先把后兩個數相加，再把結果與第一個數相加，和不變，(a+b)+c=a+(b+c)

☆

(1)同號結合相加(正數+正數、負數+負數)

(2)互為相反數的兩數結合相加(把相加結果為零的數結合相加)

(3)幾個分數相加，將同分母的先結合相加

(4)將求和后為整數的數先結合相加

(5)幾個帶分數相加，可將整數部分與分數部分分別結合相加

☆在一個求和的式子中，通常可以把“+”省略不寫，同時去掉加數的括號

有理數的減法

根據相反數的定義，減去一個數，等于加上這個數的相反數，有理數的減法可以轉化為加法進行計算。引入相反數的之后，有理數的加減混合運算可以統一為加法運算。

四、有理數的乘、除法運算

有理數乘法

(1)異號兩數相乘得負數，并把絕對值相乘;同號兩數相乘得正數，并把絕對值相乘。

(2)任何數與0相乘都得0

☆有理數的乘法運算定律

乘法交換律：兩個有理數相乘,交換因數的位置,它們的積不變。a×b=b×a

乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，再和另外一個數相乘，或先把后兩個數相乘,再和另外一個數相乘，積不變。a×b×c=a×(b×c)

乘法分配律：兩個數的和(差)同一個數相乘,可以先把兩個加數(減數)分別同這個數相乘,再把兩個積相加(減),積不變。a×(b+c) =a×b+a×c

倒數

(1)乘積為1的兩個數互為倒數;注意：0沒有倒數;

(2)若a,b互為倒數，則ab=1;

(3)求倒數：求一個數的倒數就是用1去除以這個數。

①求假分數或真分數的倒數，只要把這個分數的分子、分母顛倒位置即可;

②求帶分數的倒數時，先把帶分數化為假分數，再把分子、分母顛倒位置;

③正數的倒數是正數，負數的倒數是負數。(求一個數的倒數，不改變這個數的性質);

④倒數等于它本身的數是1或-1;

有理數除法

(1)除以一個不等0的數，等于乘以這個數的倒數。

(2)兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數，都得0

有理數的加減乘除混合運算

(1)乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。

(2)有理數的加減乘除混合運算，如果有括號先計算括號里的，如果無括則按照‘先乘除，后加減’的順序進行，同級運算中，按前后順序從左到右依次運算，誰在前先算誰。

五、有理數乘方

乘方的概念：求n 個相同因數的乘積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪。乘方中，相同的因式叫做底數，相同因式的個數叫做指數。

記作：an,在an中，a 叫做底數，n 叫做指數，an叫做冪

乘方的性質

(1)負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪的正數。

(2)正數的任何次冪都是正數，0的任何正整數次冪都是0。

(3)互為相反數的兩個數的奇數次冪仍互為相反數，偶數次冪相等。

(4)任何一個數的偶數次冪都是非負數。

有理數的混合運算

做有理數的混合運算時，應注意以下運算順序：

(1)先乘方，再乘除，最后加減;

(2)同級運算中，按前后順序從左到右依次運算，誰在前先算誰。

(3)如有括號，先做括號內的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。

科學記數法

把一個絕對值大于10的數記成a×10n的形式，其中a是整數數位只有一位的數(即1≤|a|<10，n是正整數)，這種記數法叫科學記數法。

方法：①a的確定：把原數的小數點向左移動，使它的整數位數為1，數的正負號保持不變;②n=原數的整數數位-1。

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