來源:網(wǎng)絡(luò)來源 作者:中考網(wǎng)編輯 2020-11-30 18:50:44
中考網(wǎng)整理了關(guān)于2021初中八年級數(shù)學(xué)公式:韋達(dá)定理公式,希望對同學(xué)們有所幫助,僅供參考。
韋達(dá)定理公式:
一元二次方程ax^2+bx+c(a不為0)中
設(shè)兩個根為x和y
則x+y=-b/a
xy=c/a
韋達(dá)定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,對一個n次方程∑AiX^i=0
它的根記作X1,X2…,Xn
我們有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和,∏是求積。
如果一元二次方程
在復(fù)數(shù)集中的根是,那么
法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系,因此,人們把這個關(guān)系稱為韋達(dá)定理。歷史是有趣的,韋達(dá)的16世紀(jì)就得出這個定理,證明這個定理要依靠代數(shù)基本定理,而代數(shù)基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質(zhì)性的論性。
由代數(shù)基本定理可推得:任何一元n次方程
在復(fù)數(shù)集中必有根。因此,該方程的左端可以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解成一次因式的乘積:
其中是該方程的個根。兩端比較系數(shù)即得韋達(dá)定理。
韋達(dá)定理在方程論中有著廣泛的應(yīng)用。
定理的證明
設(shè)<math>x_1</math>,<math>x_2</math>是一元二次方程<math>ax^2+bx+c=0</math>的兩個解,且不妨令<math>x_1gex_2</math>。根據(jù)求根公式,有
<math>x_1=frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}</math>,<math>x_2=frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}</math>
所以
<math>x_1+x_2=frac{-b+sqrt{b^2-4ac}+left(-b ight)-sqrt{b^2-4ac}}=-frac</math>,
<math>x_1x_2=frac{left(-b+sqrt{b^2-4ac} ight)left(-b-sqrt{b^2-4ac} ight)}{left(2a ight)^2}=frac</math>
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