來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)來(lái)源 作者:中考網(wǎng)編輯 2020-12-14 18:13:15
30、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1:三角形的三條中線交于一點(diǎn)
31、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2:設(shè)△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)R、S、T,則AR、BS、CT交于一點(diǎn)。
32、西摩松定理:從△ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線作垂線,設(shè)其垂足分別是D、E、R,則D、E、R共線,(這條直線叫西摩松線)
33、西摩松定理的逆定理:(略)
34、史坦納定理:設(shè)△ABC的垂心為H,其外接圓的任意點(diǎn)P,這時(shí)關(guān)于△ABC的點(diǎn)P的西摩松線通過(guò)線段PH的中心。
35、史坦納定理的應(yīng)用定理:△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)和△ABC的垂心H同在一條(與西摩松線平行的)直線上。這條直線被叫做點(diǎn)P關(guān)于△ABC的鏡象線。
36、波朗杰、騰下定理:設(shè)△ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R,則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點(diǎn)的充要條件是:弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏)。
37、波朗杰、騰下定理推論1:設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點(diǎn),若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn),則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點(diǎn)
38、波朗杰、騰下定理推論2:在推論1中,三條西摩松線的交點(diǎn)是A、B、C、P、Q、R六點(diǎn)任取三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線段的中點(diǎn)。
39、波朗杰、騰下定理推論3:考查△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于△ABC的西摩松線,如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦,則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)
40、波朗杰、騰下定理推論4:從△ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線,設(shè)垂足分別是D、E、F,且設(shè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N,則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個(gè)圓上,這時(shí)L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)。
41、關(guān)于西摩松線的定理1:△ABC的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直,其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。
42、關(guān)于西摩松線的定理2(安寧定理):在一個(gè)圓周上有4點(diǎn),以其中任三點(diǎn)作三角形,再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線,這些西摩松線交于一點(diǎn)。
43、卡諾定理:通過(guò)△ABC的外接圓的一點(diǎn)P,引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF,與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F,則D、E、F三點(diǎn)共線。
44、奧倍爾定理:通過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直線,設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M、N,在△ABC的外接圓取一點(diǎn)P,則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F,則D、E、F三點(diǎn)共線
45、清宮定理:設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點(diǎn),P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W,這時(shí),QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F,則D、E、F三點(diǎn)共線
46、他拿定理:設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對(duì)反點(diǎn),點(diǎn)P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W,這時(shí),如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別為ED、E、F,則D、E、F三點(diǎn)共線。(反點(diǎn):P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長(zhǎng)線的兩點(diǎn),如果OC2=OQ×OP則稱P、Q兩點(diǎn)關(guān)于圓O互為反點(diǎn))
47、朗古來(lái)定理:在同一圓同上有A1B1C1D14點(diǎn),以其中任三點(diǎn)作三角形,在圓周取一點(diǎn)P,作P點(diǎn)的關(guān)于這4個(gè)三角形的西摩松線,再?gòu)腜向這4條西摩松線引垂線,則四個(gè)垂足在同一條直線上。
48、九點(diǎn)圓定理:三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)[連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)]九點(diǎn)共圓[通常稱這個(gè)圓為九點(diǎn)圓[nine-pointcircle],或歐拉圓,費(fèi)爾巴哈圓。
49、一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn),從其中任意n-1個(gè)點(diǎn)的重心,向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線所引的垂線都交于一點(diǎn)。
50、康托爾定理1:一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn),從其中任意n-2個(gè)點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線所引的垂線共點(diǎn)。
51、康托爾定理2:一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N兩點(diǎn),則M和N點(diǎn)關(guān)于四個(gè)三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個(gè)的兩條西摩松的交點(diǎn)在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線。
52、康托爾定理3:一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn),則M、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線交于一點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點(diǎn)。
53、康托爾定理4:一個(gè)圓周上有A、B、C、D、E五點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn),則M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個(gè)康托爾點(diǎn)在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線。
54、費(fèi)爾巴赫定理:三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切。
55、莫利定理:將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分,靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn),則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形。這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形。
56、牛頓定理1:四邊形兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線的中點(diǎn),三條共線。這條直線叫做這個(gè)四邊形的牛頓線。
57、牛頓定理2:圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn),及該圓的圓心,三點(diǎn)共線。
58、笛沙格定理1:平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF,設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點(diǎn),這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線相交,則這三個(gè)交點(diǎn)共線。
59、笛沙格定理2:相異平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF,設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點(diǎn),這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線相交,則這三個(gè)交點(diǎn)共線。
60、布利安松定理:連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對(duì)的頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F,則這三線共點(diǎn)。
61、巴斯加定理:圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對(duì)的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延長(zhǎng)線的)交點(diǎn)共線。
對(duì)稱圖形,同時(shí)圓也是中心對(duì)稱圖形,其對(duì)稱中心是圓心。
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