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2021年中考數(shù)學(xué)四邊形:性質(zhì)與判定

來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)資源 作者:中考網(wǎng)編輯 2021-04-12 19:44:39

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  四邊形的“性質(zhì)與判定”

  通常,教科書中在給出一種圖形的定義后,會(huì)繼續(xù)討論由這個(gè)定義能進(jìn)一步推出哪些結(jié)論,即得出這種圖形的一些性質(zhì).這些性質(zhì)往往是經(jīng)常用到的主要性質(zhì).這種圖形很可能還有一些其他性質(zhì),教科書則未曾涉及.例如,平行四邊形除具有教科書中所說(shuō)的“對(duì)邊平行且相等”“對(duì)角相等”“對(duì)角線互相平分”等主要性質(zhì)之外,還有“對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和”這個(gè)性質(zhì).它可以證明如下.

  如圖3,作ABCD的高線DE,CF.利用全等三角形可以證明AE=BF.

  AC2=AF2+CF2=(AB+BF)2+BC2-BF2=AB2+BC2+2AB·BF,

  BD2=BE2+DE2=(AB-AE)2+DA2-AE2=AB2+DA2-2AB·AE。

  ∵AB=CD,AE=BF,

  ∴①+②,得AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2。

  實(shí)際上,圖形的所有性質(zhì)都是由圖形定義所確定的.雖然定義本身并未直接表述出所有性質(zhì),但是定義中已經(jīng)隱含了它們.故而以定義為出發(fā)點(diǎn),可以逐步推導(dǎo)出所有性質(zhì).

  圖形的“性質(zhì)”和“判定”,是兩類不同的問(wèn)題.討論一種圖形的性質(zhì),是在確定對(duì)象已經(jīng)是這種圖形的前提下進(jìn)行的;討論一種圖形的判定,是為確定對(duì)象是這種圖形而進(jìn)行的.有時(shí),在分析某個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中,兩類問(wèn)題都會(huì)出現(xiàn),如先判定某對(duì)象是一種特定的圖形.再推導(dǎo)出它的一些性質(zhì).

  是不是只要一種圖形有某條性質(zhì),就可以反過(guò)來(lái)把這條性質(zhì)當(dāng)成這種圖形的一個(gè)判定條件呢?不是!并非一種圖形的每個(gè)性質(zhì)都可以拿來(lái)作為這種圖形的判定條件.例如,正方形具有“對(duì)邊平行,鄰邊相等”的性質(zhì),但是僅根據(jù)一個(gè)四邊形滿足“對(duì)邊平行.鄰邊相等”不能判定它是正方形,而只能判定它是菱形.

  然而,“對(duì)邊平行,鄰邊相等.鄰角相等”是正方形所獨(dú)有的性質(zhì),因此它能作為正方形的判定條件.又如,矩形具有“對(duì)角線相等”的性質(zhì),但是僅根據(jù)一個(gè)四邊形的“對(duì)角線相等”并不能判定這個(gè)四邊形是矩形.

  圖4中的等腰梯形和箏形都是對(duì)角線相等的四邊形,但它們不是矩形.如果一個(gè)四邊形“對(duì)角線相等”且“對(duì)邊平行”,則它一定是矩形,即一個(gè)四邊形“對(duì)邊平行,對(duì)角線相等”可以作為矩形的一個(gè)判定條件.總之,一種圖形的判定條件,必須是只有這種圖形才能夠滿足的條件.

 

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