整式的乘法

定義

單項式和多項式都統稱為整式。整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，減，乘，除、乘方五種運算，但在整式中除數不能含有字母。

把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解(也叫作分解因式)。分解因式與整式乘法互逆。

法則

1.單項式與單項式相乘的法則

單項式和單項式相乘,只要將它們的系數,相同字母的冪分別相乘,對于只在一個單項式中出項的字母,則連同它的指數一起作為積的一個因式.注意:單項式與單項式相乘的法則也適用于多個單項式相乘.

2.單項式與多項式相乘的法則

單項式與多項式相乘,只要將單項式分別乘以多項式的各項,再將所得的積相加.即m(a+b+c)=ma+mb+mc

3.多項式與多項式相乘的法則

多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項,再把所得的積相加.即(m+n)*(a+b)=ma+mb+na+nb

冪

1.同底數冪的乘法

同底數冪相乘，底數不變，指數相加，即am·an=am+n(m，n是正整數)

當三個或三個以上同底數冪相乘時，仍適用法則，am·an·ap=am+n+p(m，n，p都是正整數).

2.冪的乘方

冪的乘方，底數不變，指數相乘，即(am)n=anm(m，n都是正整數)

(1)不要把冪的乘方性質與同底數冪的乘法性質混淆，冪的乘方運算是轉化為指數的乘法運算(底數不變);同底數冪的乘法，是轉化為指數的加法運算(底數不變).

(2)這個性質可逆用，即anm=(am)n=(an)m

積的乘方

積的乘方，等于把積中的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即(ab)n=an·bn(n為正整數).這個性質適用于三個或三個以上因式的積的乘方.

(1)這個性質可逆用，即an.bn=(ab)n，即指數相同的冪相乘，可先把底數相乘，再求積的同次冪.

(2)進行積的乘方運算時，不要出現漏掉一些因式乘方的錯誤，如(-2ab2)3≠-2a3b6等.

單項式乘以單項式

系數乘以系數作為積中的系數，所有不同因式都作為積中的因式，相同字母或相同因式的指數由該字母或因式的指數和為它們的指數.

(1)對于只在一個單項式中出現的字母，應連同它的指數-起寫在積里，應特別注意不能漏掉這部分因式.

(2)單項式乘法中若有乘方、乘法等混合運算，應按“先算乘方，再算乘法”的順序進行.

(3)單項式乘以單項式，結果仍是單項式.對于字母因式的冪的底數是多項式形式的，應將其視為一個整體來運算.三個或三個以上的單項式相乘，法則仍適用.

單項式乘以多項式

(1)單項式與多項式的乘法法則：單項式與多項式相乘，就是根據分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.

(2)單項式與多項式的積仍是一個多項式，項數與原多項式的項數相同.

多項式乘以多項式

多項式乘以多項式的法則：(a+b)(m+n)=ma+mb+na+nb.這就是說:多項式乘以多項式，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

應注意的問題

(1)運算時要按一定的順序進行，防止漏項，積的項數在沒有合并同類項以前，應是兩個多項式的項數的積.

(2)運算時要注意積的符號.

(3)運算結果有同類項的要合并同類項，并按某個字母的升冪或降冪排列.

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