一元二次方程

定義

等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)。并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式是:

ax²+bx+c=0(a≠0)。其中ax²是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù);bx是一次項(xiàng);b是一次項(xiàng)系數(shù);c是常數(shù)項(xiàng)。對(duì)于方程

ax2+bx+c=0，只有當(dāng)a≠0時(shí)才是一元二次方程。反過(guò)來(lái)，如果說(shuō)ax²+bx+c=0是一元二次方程則必須含著a≠0這個(gè)條件。

解一元二次方程

(1)直接開平方法

我們知道如果x²=25，則x=±25，即x=±5，像這種利用平方根的定義通過(guò)直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。

一般地，對(duì)于方程x²=p，①當(dāng)p>0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1=√p ，x2=−√p

②當(dāng)p=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)x1=x2=0。

③當(dāng)p<0時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x2⩾0，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根。

(2)配方法

通過(guò)配成完全平方的形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫做配方法。用配方法解方程是以配方為手段，以直接開平方法為基礎(chǔ)的一種解一元二次方程的方法。

用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①化二次項(xiàng)系數(shù)為1。

②移項(xiàng)：使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)。

③配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，原方程變?yōu)?/p>

(x+n)²=p的形式。

④直接開平方：如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可用直接開平方法求出方程的解。

(3)公式法

一般地，式子.b²-4ac叫做方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判別式，通常用希臘字母Δ

表示，即Δ=b²-4ac。

當(dāng)Δ=b²-4ac>0時(shí)，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。即x1=(-b+√b²-4ac)/2a，x2=(-b-√b²-4ac)/2a。

當(dāng)Δ=b²-4ac=0時(shí)，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。x1=x2=-b/2a。

當(dāng)Δ=b²-4ac<0時(shí)，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

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