一、實際問題與二元一次方程組的思路

1.列方程組解應用題的基本思想列方程組解應用題，是把“未知”轉換成“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量和未知量聯系起來，找出題目中的等量關系

一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量;②同類量的單位要統一;③方程兩邊的數要相等。

2.列二元一次方程組解應用題的一般步驟設：用兩個字母表示問題中的兩個未知數;列：列出方程組(分析題意，找出兩個等量關系，根據等量關系列出方程組);解：解方程組，求出未知數的值;答：寫出答案。

3.要點詮釋(1)“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱;(2)一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組。

二、八大典型例題詳解

01.和差倍數問題

知識梳理和差問題是已知兩個數的和或這兩個數的差，以及這兩個數之間的倍數關系，求這兩個數各是多少。

典型例題

思路點撥：由甲乙兩人2分鐘共打了240個字可以得到第一個等量關系式2(x+y)=240，再由甲每分鐘比乙多打10個字可以得到第二個等量關系式x-y=10，組成方程組求解即可。

變式拓展

思路點撥：由甲組學生人數是乙組的3倍可以得到第一個等量關系式x=3y，由乙組的學生人數比甲組的3倍少40人可以得到第二個等量關系式3x-y=40，組成方程組求解即可。

02.產品配套問題

知識梳理總人數等于生產各個產品的人數之和;各個產品數量之間的比例符合整體要求。

典型例題

思路點撥：本題的第一個等量關系比較容易得出：生產螺釘和螺母的工人共有22名;第二個等量關系的得出要弄清螺釘與螺母是如何配套的，即螺母的數量是螺釘的數量的2倍(注意：別把2倍的關系寫反)。

變式拓展

思路點撥：根據共有170名學生可得出第一個等量關系x+y=170，根據每個樹坑對應一棵樹可得第二個等量關系3x=7y，組成方程組求解即可。

03.工作量問題

知識梳理我們在解決工程問題時通常把工作總量看成1;工作量=工作效率×工作時間;總工作量=每個個體工作量之和;工作效率=工作量÷工作時間(即單位時間的工作量);工作效率=1÷完成工作的總時間。

典型例題

思路點撥

變式拓展

思路點撥

04.利潤問題

知識梳理商品利潤=商品售價-商品進價;利潤率=利潤÷進價×100%。

典型例題

思路點撥：本題有兩個未知數，即商品本錢和預售總價，也有兩個明顯的等量關系，即兩種打折出售的獲利情況，根據售價-成本-存貨費用=利潤，可以列出方程組求解即可。

變式拓展

思路點撥：本題易知第一個等量關系為甲乙兩種商品共50件，則有x+y=50。根據甲乙商品的進價和利潤率可知甲商品每件利潤為35×0.2=7元，乙商品每件利潤為20×0.15=3元，再由所獲總利潤得到第二個等量關系，組成方程組求解即可。

05.行程問題

知識梳理路程=速度×時間;相遇問題：快行距+慢行距=原距追及問題：快行距-慢行距=原距航行問題：順水(風)速度=靜水(風)速度+水流(風)速度逆水(風)速度=靜水(風)速度-水流(風)速度

典型例題

思路點撥：這兩個問題均可以利用路程、速度和時間之間的關系列方程(組)求解，要明確快車與慢車的路程與A、B兩地的距離之間的關系，相向而行兩車相遇時：快車路程+慢車路程=A、B兩地距離;同向而行兩車相遇時：快車路程-慢車路程=A、B兩地距離。

變式拓展

思路點撥：根據水流速度與船在靜水中的速度的關系可以得到船的順水速度和逆水速度，再根據路程=時間×速度列出方程組求解。

06.存貸款問題

知識梳理利息=本金×利率×期數;本息和(本利和)=本金+利息。

典型例題

思路點撥：本題的等量關系：甲種貸款+乙種貸款=13萬元;甲種貸款的年利息+乙種貸款的年利息=6075元。

變式拓展

思路點撥：本題兩種儲蓄的年利率之和為3.24%，由此可得到第一個等量關系x+y=3.24%，再由兩種儲蓄的利息之和可得第二個等量關系，列方程組求解即可。

07.數字問題

知識梳理已知各數位上的數字，寫出兩位數，三位數等這類問題一般設間接未知數，例如：若一個兩位數的個位數字為a，十位數字為b，則這個兩位數可以表示為10b+a。

典型例題

思路點撥：本題中的等量關系：①個位上的數-十位上的數=5;②原數+新數=143。

變式拓展

思路點撥：本題中的等量關系：①個位上的數+十位上的數=8;②原數-新數=18。

08.方案問題

知識梳理在解決實際問題時，需合理安排，從幾種方案中，選擇最佳方案。要點詮釋：方案選擇的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應抓住重點，比較幾種方案得出最佳方案。

典型例題

思路點撥：(1)本小問兩個等量關系均可利用貨物的總噸數等于兩種車型所運貨物噸數之和，每種車型所運貨物的噸數等于該種車的數量乘以每輛車裝滿貨物時可運輸的貨物噸數，列出方程即可。

(2)根據貨物的總噸數等于兩種車型所運貨物噸數之和列出方程，求解即可。

(3)總費用等于A型車的總費用加上B型車的總費用，比較三種方案的費用得出最省錢的租車方案。

變式拓展

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