來源:網(wǎng)絡資源 2021-12-28 11:19:32
一、概念關(guān)
初中幾何將邏輯性與直觀性相結(jié)合,由生產(chǎn)生活中的實際幾何模型,抽象出數(shù)學教材上的幾何概念,是九年義務教育教材的一大特色。因此,在教學中應盡可能地讓學生先觀察幾何模型,形成感性認識,在此基礎上,再給出數(shù)學名稱,畫出數(shù)學圖形,定義圖形,研究性質(zhì)。
例如:在介紹“直線”這個不加定義的概念時可分為四步:
(1)展示一根拉得很緊的細線,讓學生想一下鐵路上的鐵軌等,給學生一個實際模型的感性認識。
(2)給出數(shù)學名稱,對于以上形象的線叫直線。
(3)給出定義:直線是向兩方無限延伸的線。直線是描述性定義,只要認識理解“直”與“向兩方無限延伸”,它無長短,無粗細,是理想中的直線。
(4)圖形性質(zhì):“直線公理:過兩點有且只有一條直線。”可舉實例說明。一個概念經(jīng)過以上四步,學生便會記憶深刻、所學知識落實到位。
二、語言關(guān)
幾何語言的表現(xiàn)形式有三種:一是圖形語言,就是我們研究的幾何圖形。如角、三角形、梯形等。二是文字語言,就是概念、定理、公理、或一個幾何題用文字來表現(xiàn)的語言。三是符號語言:如:“//”“⊥”“△”等。這三種語言在幾何中通常是并存的,有時又互相滲透,互相轉(zhuǎn)化。教學中要對學生加強這三種幾何語言的基本訓練,要求每一位學生不僅能熟練地表達每一種語言,而且能根據(jù)解題或證題的需要,準確地將其中一種語言“翻譯”成其它語言形式。對于幾何語言的學習,要嚴謹、準確,尤其是三種幾何語言的“互譯”要熟練掌握,對于圖形、文字、符號的使用要融匯貫通,這是學好幾何的關(guān)鍵。
三、畫圖關(guān)
幾何圖形是學習研究的主要對象,畫準圖形是解(證)題的基礎。畫出正確符合題意的圖形,往往會給學生留下深刻直觀的印象,也給解(證)題帶來清晰的思路。相反,不準確的圖形,會給思考問題,解決問題帶來錯覺,甚至把思維引入歧途,把顯而易見的問題變得無法入門。所以,要求學生在學習中,嚴格要求自己,認真地畫出規(guī)范、準確的幾何圖形,千萬不能怕麻煩或為了省事,不用學習用具而隨便、徙手畫圖。
四、推理證明關(guān):
幾何的推理證明同代數(shù)相比,思維方式有明顯區(qū)別,幾何借助圖形思考,言必有據(jù)。因此,學習幾何推理證明,要注意以下幾點:
(1)扎實認真地學好幾何基礎知識,是學好幾何推理證明的前提條件,定義、公理、定理、推論是幾何推導的理論依據(jù)。所以要深刻理解其含義,徹底弄清其題設和結(jié)論。只有這樣,才能靈活、正確運用它們來推導證明,解決問題。
(2)要練好三項基本功:正確地識圖與作圖;會使用三種幾何語言的互相“翻譯”,具有準確熟練地進行口頭、書面的語言表達。
(3)加強在學習中對證明推導的基本結(jié)構(gòu)和格式的訓練。
(4)在老師的指導下,注意對證明方法的訓練。幾何證明方法一般有兩種:分析法和綜合法,這兩種方法結(jié)合起來,稱為“逆推順證”,即用分析法尋找證題思路,用綜合法書寫證題過程。
同學們做到上面四關(guān),只能說幾何會做,但是想幾何掌握的更好,運用更嫻熟,還得多學幾招:
第一招:一題多解一道題,往往不止一個解法。給出一個中點,有人想到了中線直角三角形斜邊中線等于斜邊一半,有人想構(gòu)造中位線,有人想中線倍長。做完一道題,想想還有沒其他方法可以做?
第二招:結(jié)論條件互換
有一些經(jīng)典題目,出現(xiàn)頻率很高。我們往往發(fā)現(xiàn)他們雖然是同樣的圖形,但是往往考察的側(cè)重點不一樣。例如下面這道題:
例1:已知:如圖,梯形ABCD中,AD//BC,AD+BC=DC,M為AB的中點。求證:DM⊥CM。
其實上面的一道題,我們還可以得出,DM、CM分別為∠ADC,∠BCD的平分線。
通過上面的問題解決,提出下面的問題:梯形ABCD中,AD∥BC,從下面條件中選2個做為已知,其余作為結(jié)論,寫出命題并證明:
(1)DM平分∠ADC;(2)CM平分∠BCD;(3)M為AB中點;(4)DM⊥CM;(5)AB+BC=CD
這樣一來,我們可以從就可以得到10個題目!當然未必要10個都做一遍,但通過這樣的過程,這個題目就能完完全全的掌握。這樣的思路可以推廣到很多題目中。例如下面這道題十分經(jīng)典,我們也可以改編:
例2、如圖,已知在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點,且BE=AC,延長BE交 AC于F.求證:AF=EF。
改編:如上圖,從下面三個條件中選2個作為已知,1個作為結(jié)論,寫出命題并證明:(1)AD為BC邊上中線;(2)BE=AC;(3)AF=EF
通過這樣的推廣,我們甚至可以用來學習定理記憶。比如,垂徑定理,是圓里面的很重要的一個定理。這個定理包含1個定理和5個推論,我們通過將定理的條件分解成4個條件,然后選2個做條件,2個做結(jié)論,都能成立。我們簡稱“二推二”。
這樣就很輕松的記憶掌握定理。
(1)直徑(過圓心);
(2)垂直弦;
(3)平分弦;
(4)平分弧;
例如:已知(1)(2)推出(3)(4):直徑垂直一條弦,那么就平分這條弦,并平分這條弦所對的弧;
已知(2)(4)推出(1)(4):如果一條直線垂直一條弦,并平分這條弦所對的弧,那么這條直線過圓心,并且平分這條弦。
這樣就能將6條個命題牢牢記住。其中只要記住(1)(3)推出(2)(4)的時候要說明是非直徑的弦即可。
第三招:從特殊到一般、從線段到射線。
如一個點是在BC線段上的時候,我們探究了結(jié)論;然后我們可以繼續(xù)思索如果P在射線BC上的情形。這就要研究P在BC延長線上如何了。這樣是壓軸題里常考的題型。通過這樣從特殊到一般的研究過程,我們對題目的理解就更深刻了。
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