來源:網絡資源 2022-10-29 10:47:05
初級的三角函數。是銳角三角函數。他們以銳角為自變量。以比值為函數值。下面我們可以利用平面直角坐標系研究任意角的三角函數。如圖,4-10。設α是一個任意角。二法的終邊上任意一點p。(除端點外)。坐標是(x,y)。它與原點的距離是r(r=√|x|²+|y|²=√x²+y²>0
1:比值y÷r叫做α的正弦。記作sinα
Sinα=y/r
比值x/r叫做α的余弦,記作cosα
Cosα=x/r
比值y/x叫做x的正切,記作tanα
Tanα=y/x
根據相似三角形的知識,對于確定的角α。這三個比值。(如果有的話)都不會隨點p在α的終邊上的位置的改變而改變。
當α=π/2+kπ(k∈Z)時,α的終邊在y軸上終邊上任意一點P的橫坐標都等于0,所以tanα=y/x無意義,除此之外,對于確定的角α,上面的三個比值都是唯一確定的這就是說,正弦,余弦,正切都是以角為自變量,以比值為函數值的函數。圖4-11。來看看正弦,余弦正切這三種三角函數的一種幾何表示。
如圖4-12
設任意角α的頂點在原點O,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊與單位圓,(圓心在原點O),半徑等于單位長度的圓)相交于點P(x,y),經P作x軸的垂線,垂足為M,過點A(1,0)作單位圓的切線,這條切線必然平行于y軸。設他與角α的終邊(當α為第一四象限角時)或其反向延長線。(當α為第二三象限角時)相交于點T
顯然,線段om的長度為|x|,線段mp的長度。|y|
他們都只能取非負值。
當角阿爾法的終邊不在坐標軸上時,我們可以把om mp都看作帶有方向的線段。
如果x>0把Om看做與x同向,規定,此時om具有正值x。如果x小于零,把om看作`與x軸反向。規定,此時om具有負值x。在這種規定下,不論哪一種情況都有om等于x,如果y大于零,把mp看作與y軸同向。規定此時mp具有正直vi。規定此時mp具有正值y如果y小于零,把mp看作于y軸反向。規定此時mp具有負值y。在這種規定下,不論哪一種情況都有mp等于y.
于是這種對抗中帶有方向的線段叫做有向線段。根據正弦余弦函數的定義就有。
Sinα=y/r=y/1=y=MP,
Cosα=x/r=x/1=x=OM
這兩條與單位圓有關的有向線段mp om分別叫做角阿爾法的正弦線余弦線。
類似的我們也可以把OA,AT看作有向線段那么根據正切函數的定義和相似三角形的知識就有。tanα=y/x=MP/OM=AT
這條與單位圓有關的有向線段AT叫做角α的正切線。
當角阿爾法的終邊在x軸上時,正弦線正切線分別變成一個點。當角阿爾法的終邊在y軸上時,余弦線變成一個點正切線不存在
現在我們分別把表示正切余弦正弦的三個比。y/x,x/r,y/r的前項后項交換,我們又得到三個比。其中。比值x/y叫做α的余切,記作cotα,
比值r/x叫做正割,記作secα,
比值r/y叫做α的余割,記作cscα,
可以看出當α=kπ(k∈Z)時,α的終邊在x軸上,終邊上任意一點P的縱坐標y都等于0,所以cotα=x/y與cscα=r/y的值都不存在,當α=π/2+kπ(k∈Z)時,與與tanα無意義一樣,secα=r/x的值都不存在,除此之外對子確定的角α,比值x/y,r/x,r/y分別是一個確定的實數,所以余切,正割,余割也是以角為自變量。以比值為函數值的函數。以上六種函數統稱三角函數。
由于角的集合與實數集之間可以建立一一對應關系。三角函數可以看成是以實數為自變量的函數。在弧度制下,正弦余弦正切函數的定義域如下表所示。
三角函數
三角函數。
定義域
sinα
R
Cosα
R
Tanα
{α|α≠π/2+kπ,k∈Z}
由三角函數的定義。以及各象限內點的坐標的符號,我們可以得知。不
正弦值。y/r對于第一二象限角是正的。(y>0,r>0),對于第三四象限角是負的。y<0,r>0
余弦值。x/r對于第一四象限角是正的。(x>0,r>0),對于第二三象限角是負的。(x<0,r>0)
正切值,y/x對于第一,三象限角是正的xy同號。對于第二四象限角是負的x y異號。
三角函數的定義你還可以知道。終邊相同的角的同一三角函數的值相等,由此得到一組公式。
Sin(α+k*360°)=sinα
Cos(α+k*360°)=cosα
Tan(α+k*360°)=tanα其中k∈Z
可以把求任意角的三角函數值轉換為0°到360°角的三角函數值。
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