來源:網(wǎng)絡(luò)資源 2022-11-22 19:17:59
圓幾乎是中考數(shù)學(xué)必考的壓軸題型之一,因為與圓結(jié)合的圖形形狀有很多,比如三角形、四邊形等基本圖形。可見其綜合性、靈活性非常高。而要做好與圓相關(guān)的題目,我們通常少不了要做與圓有關(guān)的輔助線,今天我們就來討論一下怎么做與圓有關(guān)的輔助線。
一、輔助線作法
1、圓周角定理:圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的的圓心角度數(shù)的一半.
推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等
推論2:直徑所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑;
輔助線方法:①若條件給出圓周角或者圓心角的度數(shù)或等量關(guān)系
那么我們就添加輔助線,找出同弧或等弧所對的圓周角或圓心角;
②見到直徑,那么我們就找直徑所對的圓周角。
2、垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧。
輔助線或使用方法:
①計算線段長,或證明線段相等,考慮垂徑定理;
②一直線過圓心的情況,就要想到證某條弦被該直線垂直平分;
③若題目中有“弦的中點(diǎn)”和“弧的中點(diǎn)”條件時,一般連接中點(diǎn)和圓心,利用垂徑定理的推論得出結(jié)果
3、切線判定定理:經(jīng)過半徑的外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線.
切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.
推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).
推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.
所以如果一條直線具備以下三個條件中的任意兩個,就可推出第三個:
①垂直于切線; ②過切點(diǎn); ③過圓心.
輔助線方法:見到切線尤其是要證明相切關(guān)系,那么我們就連過切點(diǎn)的半徑。
4、弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半,等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)。
輔助線方法:見到弦切角就作出它所對應(yīng)的圓周角或圓心角。
5、兩圓相交
輔助線方法:連接公共弦和兩個圓心。
二、相關(guān)定理對應(yīng)例題解析
2.1、圓周角定理
方法技巧:見到直徑,那么我們就找直徑所對的圓周角
2.2、垂徑定理
例3、如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=4,tanB=3.以AB為直徑作⊙O,交邊DC于E、F兩點(diǎn).
(1)求證:DE=CF;
(2)求:直徑AB的長.
(1)證明:過點(diǎn)O作OH⊥DC,垂足為H.
∵AD∥BC,∠ADC=90°,OH⊥DC,
∴∠BCN=∠OHC=∠ADC=90°.
∴AD∥OH∥BC.
又∵OA=OB.
∴DH=HC.
∵OH⊥DC,OH過圓心,
∴EH=HF,
∴DH﹣EH=HC﹣HF.
即:DE=CF.
(2)解:過點(diǎn)A作AG⊥BC,垂足為點(diǎn)G,∠AGB=90°,
∵∠AGB=∠BCN=90°,
∴AG∥DC.
∵AD∥BC,
∴AD=CG.
∵AD=2,BC=4,
∴BG=BC﹣CG=2.
在Rt△AGB中,∵tanB=3,
∴AG=BG•tanB=2×3=6.
方法技巧:計算線段長,或證明線段相等,考慮垂徑定理
例4、如圖4-10(a)所示,A、B、C在⊙O上,∠ABC=2∠C,BP平分∠ABC,AE⊥BP于E,求證:AE過圓心O.
方法技巧:要證“一直線過圓心”的情況,就要想到證以這條直線為弦的垂直平分線,所以補(bǔ)齊圖中圖形,由垂徑定理即可得證.
2.3、切線判定定理
例5、如圖,PA,PB是⊙O的切線,A,B為切點(diǎn),∠APB=60°,連接PO并延長與⊙O交于點(diǎn)C,連接AC,BC.
(1)求證:四邊形ACBP是菱形;
(2)若⊙O的半徑為1,求菱形ACBP的面積.
方法技巧:見到切線尤其是要證明相切關(guān)系,那么我們就連過切點(diǎn)的半徑
例6、如圖,⊙O的直徑AB為10cm,弦BC為5cm,D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O,AB的交點(diǎn),P為AB延長線上一點(diǎn),且PC=PE.
(1)求AC、AD的長;
(2)試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由.
輔助線方法:見到弦切角就作出它所對應(yīng)的圓周角或圓心角
3.4、弦切角定理
3.5、兩圓相交
例8、如圖所示,⊙O1和⊙O2交于D、E,A在⊙O1上,AD、AE分別交⊙O2于B、C.求證:AO1⊥BC.www-2
證明;如圖4-7(b)所示,連接DE,得∠ADE=∠C.
設(shè)AO1交⊙O1于F,由于同圓中同一條弦所對的同側(cè)的圓周角相等,
∴∠AFE=∠ADE.
又∠AFE+∠FAE=90°,
∴∠EAF+∠C=90°,即AO1⊥BC.
方法技巧:與兩圓相交,連接公共弦和兩個圓心
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