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2023年初中數學添加輔助線是解題的關鍵

來源:網絡資源 2022-12-05 18:58:40

中考真題

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一、由角平分線想到的輔助線

1、截取構全等

如圖,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,點E在AD上,求證:BC=AB+CD。

分析:在此題中可在長線段BC上截取BF=AB,再證明CF=CD,從而達到證明的目的。這里面用到了角平分線來構造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。

2、角分線上點向兩邊作垂線構全等

如圖,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求證:∠ADC+∠B=180

分析:可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADC與∠B之和為平角。

3、三線合一構造等腰三角形

如圖,AB=AC,∠BAC=90 ,AD為∠ABC的平分線,CE⊥BE.求證:BD=2CE。

分析:延長此垂線與另外一邊相交,得到等腰三角形,隨后全等。

4、角平分線+平行線

如圖,AB>AC, ∠1=∠2,求證:AB-AC>BD-CD。

分析:AB上取E使AC=AE,通過全等和組成三角形邊邊邊的關系可證。

二、由線段和差想到的輔助線

截長補短法

AC平分∠BAD,CE⊥AB,且∠B+∠D=180°,求證:AE=AD+BE。

分析:過C點作AD垂線,得到全等即可。

三、由中點想到的輔助線

1、中線把三角形面積等分

如圖,ΔABC中,AD是中線,延長AD到E,使DE=AD,DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2,求:ΔCDF的面積。

分析:利用中線分等底和同高得面積關系。

2、中點聯中點得中位線

如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點,BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證:∠BGE=∠CHE。

分析:聯BD取中點聯接聯接,通過中位線得平行傳遞角度。

3、倍長中線

如圖,已知ΔABC中,AB=5,AC=3,連BC上的中線AD=2,求BC的長。

分析:倍長中線得到全等易得。

4、RtΔ斜邊中線

如圖,已知梯形ABCD中,AB//DC,AC⊥BC,AD⊥BD,求證:AC=BD。

分析:取AB中點得RTΔ斜邊中線得到等量關系。

四、由全等三角形想到的輔助線

1、倍長過中點得線段

已知,如圖△ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是。

分析:利用倍長中線做。

2、截長補短

如圖,在四邊形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分 ,求證:∠A+∠C=180

分析:在角上截取相同的線段得到全等。

3、平移變換

如圖,在△ABC的邊上取兩點D、E,且BD=CE,求證:AB+AC>AD+AE

分析:將△ACE平移使EC與BD重合。

4、旋轉

正方形ABCD中,E為BC上的一點,F為CD上的一點,BE+DF=EF,求∠EAF的度數

分析:將△ADF旋轉使AD與AB重合。全等得證。

分析:將△ADF旋轉使AD與AB重合。全等得證。

五、由梯形想到的輔助線

1、平移一腰

所示,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,AB∥DC,AD=15,AB=16,BC=17. 求CD的長。

分析:利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四邊形。

2、平移兩腰

如圖,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B+∠C=90°,AD=1,BC=3,E、F分別是AD、BC的中點,連接EF,求EF的長。

分析:利用平移兩腰把梯形底角放在一個三角形內。

3、平移對角線

已知:梯形ABCD中,AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面積。

分析:通過平移梯形一對角線構造直角三角形求解。

4、作雙高

在梯形ABCD中,AD為上底,AB>CD,求證:BD>AC。

分析:作梯形雙高利用勾股定理和三角形邊邊邊的關系可得。

5、作中位線

(1)如圖,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分別是BD、AC的中點,求證:EF//AD

分析:聯DF并延長,利用全等即得中位線。

(2)在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠BAD=90°,E是DC上的中點,連接AE和BE,求∠AEB=2∠CBE。

分析:在梯形中出現一腰上的中點時,過這點構造出兩個全等的三角形達到解題的目的。

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