1.軸對稱的定

把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關于這條直線對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸。折疊后重合的點是對應點，也叫做對稱點。

【軸對稱指的是兩個圖形的位置關系，兩個圖形沿著某條直線對折后能夠完全重合.成軸對稱的兩個圖形一定全等。】

2.軸對稱圖形的定義

把一個圖形沿著某直線折疊，如果直線兩旁的部分能互相重合，那么這個圖形是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。

【軸對稱圖形是指一個圖形，圖形被對稱軸分成的兩部分能夠互相重合.一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定。】

3.軸對稱與軸對稱圖形的區別與聯系

軸對稱與軸對稱圖形的主要區別：軸對稱是指兩個圖形，而軸對稱圖形是一個圖形;軸對稱圖形和軸對稱的關系非常密切，若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則這個整體就是軸對稱圖形;反過來，若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，則這兩個圖形關于這條直線(原對稱軸)對稱.。

4.軸對稱的性質

軸對稱的性質：成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線被對稱軸垂直平分;成軸對稱的兩個圖形的任何對應部分也成軸對稱;成軸對稱的兩個圖形全等。

5.線段的軸對稱性

①線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸。

②線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。

③線段垂直平分線的性質定理的逆定理：到線段兩個端距離相等的點在線段的垂直平分線上。

【①線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現相等線段，直接或間接地為構造全等三角形創造條件。②三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心——外心。】

6.線段的垂直平分線

垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線。

7.角的軸對稱性

(1)角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸。

(2)角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

(3)角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。

【①用符號語言表示角平分線上的點到角兩邊的距離相等。若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE=PF】

【②用符號語言表示角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE=PF，則PD平分∠ADB 】

8.角平分線的畫法

角平分線的尺規作圖

·真題解析

考點1 判別軸對稱圖形

例1

(2013年咸寧)下列學習用具中，不是軸對稱圖形的是( 　)

分析

：根據軸對稱圖形的概念：把一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合的圖形是軸對稱圖形，對各選項逐一判斷即可。

解：

選項A、B、D是軸對稱圖形，選項C不是軸對稱圖形，故選C。

考點2 線段的垂直平分線的性質

例2

(2013年泰州)如圖1，在△ABC中，AB+AC=6 cm，BC的垂直平分線l與AC相交于點D，則△ABD的周長為　　cm.

分析：

根據線段垂直平分線的性質，可得DC=DB，進而可確定△ABD的周長。

解：

因為l垂直平分BC，所以DB=DC

所以△ABD的周長=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6 cm.故填6。

考點3 畫軸對稱圖形

例3

(2013年哈爾濱)如圖2所示，在每個小正方形的邊長均為1個單位長度的方格紙中，有線段AB和直線MN，點A，B，M，N均在小正方形的頂點上，在方格紙中畫四邊形ABCD(四邊形的各頂點均在小正方形的頂點上)，使四邊形ABCD是以直線MN為對稱軸的軸對稱圖形，點A的對稱點為點D，點B的對稱點為點C。

分析：

過點A畫直線MN的垂線，垂足為O，在垂線上截取OD=OA，D就是A關于直線MN的對稱點;同理，畫出點B關于直線MN的對稱點C;連接BC，CD，DA，即可得到四邊形ABCD。

解：

正確畫圖如圖3所示。

例4

(2013年重慶)作圖題：(不要求寫作法)如圖4所示，△ABC在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為A(-2，1)，B(-4，5)，C(-5，2)。

⑴作△ABC關于直線l：x=-1對稱的△A1B1C1，其中，點A，B，C的對應點分別為A1，B1，C1;

⑵寫出點A1，B1，C1的坐標。

分析：

⑴根據網格結構找出點A，B，C關于直線l的對稱點A1，B1，C1，然后順次連接即可;⑵直接根據平面直角坐標系寫出點A1，B1，C1的坐標。

解：

⑴畫△A1B1C1如圖5所示。

⑵A1(0，1)、B1(2，5)、C1(3，2)。

考點4 關于x軸或y軸對稱的點的坐標

例5

(2013年遂寧)將點A(3，2)沿x軸向左平移4個單位長度得到點A′，點A′關于y軸對稱的點的坐標是(　　)

A.(-3，2) B.(-1，2) C.(1，2) D.(-1，-2)

分析：

先利用平移中點的變化規律求出點A′的坐標，再根據關于y軸對稱的點的坐標特征即可求解。

解：

因為將點A(3，2)沿x軸向左平移4個單位長度得到點A′，所以點A′的坐標為(-1，2)。所以點A′關于y軸對稱的點的坐標是(1，2)，故選C。

考點5 等腰三角形的性質

例6

(2013年臺灣)如圖6，在長方形ABCD中，M為CD中點，分別以B，M為圓心，BC，MC長為半徑畫弧，兩弧相交于點P。若∠PBC=70°，則∠MPC的度數為(　 )

A.20° B.35° C.40° D.55°

分析：

根據等腰三角形兩底角相等求出∠BCP，然后求出∠MCP，再根據“等邊對等角”求解即可.

解：

因為分別以B，M為圓心，BC，MC長為半徑的兩弧相交于點P，所以BP=BC，MP=MC。

因為∠PBC=70°，所以∠BCP=1/2(180°-∠PBC)=1/2(180°-70°)=55°

在長方形ABCD中，∠BCD=90°，所以∠MCP=90°-∠BCP=90°-55°=35°

所以∠MPC=∠MCP=35°，故選B。

考點6 等邊三角形的性質

例7

(2013年黔西南州)如圖8，已知△ABC是等邊三角形，點B，C，D，E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E的度數為

分析：

根據等邊三角形的性質，可知∠ACB=60°，根據等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數。

解：

因為△ABC是等邊三角形，所以∠ACB=60°，∠ACD=120°

因為CG=CD，所以∠CDG=30°，∠FDE=150°

因為DF=DE，所以∠E=15°，故填15°

考點7含300角的直角三角形的性質

例8

(2013年泰安)如圖9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分線DE交AC于點E，交BC的延長線于點F，若∠F=30°，DE=1，則BE的長是

分析：

根據題意推得∠DBE=30°，則在Rt△DBE中由“30°角所對的直角邊是斜邊的一半”即可求得線段BE的長度。

解：

因為FD⊥AB，所以∠ACB=∠FDB=90°

因為∠F=30°，所以∠A=∠F=30°

又DE垂直平分線AB，所以∠EBA=∠A=30°

因為DE=1，所以BE=2DE=2，故填2。

·誤區點撥

誤區1 軸對稱含義理解不清致錯

例1

如圖1中的(1)、(2)兩個圖形成軸對稱，請畫出它們的對稱軸。

錯解：

如圖1所示的直線MN

剖析：

沿直線MN對折，在直線MN兩旁的圖形的確可以互相重合，但這里要求的是畫(1)、(2)的對稱軸，而MN并不是這兩個圖形的對稱軸。畫成軸對稱的兩個圖形的對稱軸時要注意所指的是哪個兩個圖形，特別注意當這兩個圖形本身也是軸對稱圖形時，不要把各自圖形的對稱軸作為兩個圖形的對稱軸。

正解：

如圖1所示的直線PQ

誤區2

例2

如圖2，已知A，C兩點關于BD對稱，下列結論：①OA=OC;②OB=OD;③AD=CD;④AB=CB。其中正確的有 (填序號即可).

錯解：

填①②③④.

剖析：

錯解“A，C兩點關于BD對稱”錯誤理解為“AC，BD互相垂直平分”，實際上OA=OC，AB=CB，AD=CD成立，但OB=OD不一定成立。

正解：

填①③④.

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