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《趣味物理學》在線閱讀——第8章 光的反射和折射(10-17)(3)

來源:百度文庫 2010-08-17 13:28:06

中考真題

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8.12 什么時候走長的路比短的路更快?

  那么,難道說走折曲的路徑比走直線能夠更快地到達目的地嗎?是的,如果全程各段的行進速度不一樣,那情形的確是這樣。

  舉例來說,假定有一個人住在兩個火車站之間,而離一個火車站很近。他想盡快走到比較遠的那個車站上去,他會騎馬向反方向走到比較近的車站,在那里搭上火車到他的目的地去。從他的村莊到他的目的地,如果一直騎馬前去,走的路會近一些,但是他寧愿騎馬搭火車走一段比較長的路,原因是這樣走會比較快到達目的地。在這里,走長的路就比走短的路更快。

  現在不妨再花一分鐘時間看一看另外一個例子。一位騎馬的通訊員,要從A點把一份報告送到C點的司令官那里。在他和司令官帳幕之間隔著一片沙地和一片大草地,沙地和草地的分界線是一條直線EF。馬在沙地里走是很困難的,這兒的速度只等于在草地上速度的一半。問:為了盡快把報告送到,這位騎馬的通訊員應該選擇怎么樣的路線?

  初看最快的路徑自然應當是從A到C的直線。但這是完全錯誤的,而且我也不相信會有走這條路徑的通訊員。沙地上難走他是明白的,這使他正確地考慮到難走的沙路應該越短越好,就是越過這沙地的路線應該越斜得少越好;當然,這樣做會加長了越過草地上的路;但是在草地上可以走得比較快,速度等于沙地的兩倍,因此路長一些也還是有利的,使得全程可以在較短時間里走完。換句話說,他走的路線應該在沙地和草地的分界線上拆曲,使草原上所走的路線跟分界線的垂線所成的角,比沙地上所走的路線跟這垂線所成的角大。

  懂幾何學的人,可以用勾股弦定理算出直線AC果然不是最快的路線,如果照我們這里圖上所畫的尺寸來說,假定我們沿AEC折線行進的話,可以更快到達目的地。

  圖102上注明,沙地闊2公里,草地闊3公里,BC長7公里。于是按照勾股弦定理,AC的全長就是是等于3.44公里。由于沙地上行進速度只等于草地上的一半,3.44公里的沙路就得花上草地上走6.88公里的時間。因此,走完全長8.60公里的AC直線的路程所要花的時間,等于在草地上走12.04公里所花的時間。

  現在我們給折線路程AEC也來做一次同樣的計算。折線的AE部分是2公里,所花的時間等于在草地上走4公里的時間;EC部分的時間相當于在草地上走4+7.61=11.61公里。 

  照這樣說,看起來比較“短”的直路,實際上相當于在草地上走12.04公里,而比較“長”的折線路卻一共相當于在草地上走11.61公里。你看,比較“長”的路竟要比那比較“短”的路近12.04-11.61=0.43公里,就是大約近半公里!我們這里還沒有指出最快的路線。理論告訴我們,最快的路線應該是(這兒得找三角學來幫忙了)使b角的正弦跟a角的正弦間的比(sinb:sina)等于草地上速度踉沙地上速度間的比,就是2∶1。換句話說,要選最快的路線,一定要使sinb等于sina的兩倍。這樣跨過分界線的M點,應該離E一公里。

  那時候

  sinb和sina的比是:

  就是恰好等于兩個速度的比。

  那么,這全部路程換算做在草地上走的路程,等于多長呢?試演算一6.70公里。全程長4.47+6.70=11.17公里,就是要比直線路程短0.87公里,因為我們已經知道那直線路程的長度是相當于草地上12.04公里的。

  這兒你可以看見,在本題所說的條件下,把行進路線屈折是比依直線走更有利的。光線就正是選擇了這樣的捷徑,因為光的折射定律就完全適合解答這個題目的一切數學上的要求的:折射角的正弦跟入射角正弦的比,恰好等于光在新的介質里的速度跟它在原來的介質里的速度的比;從另一方面來說,這個比值就是光在這兩種介質間的折射率。

  把光的反射和折射的定律結合到一起,我們就可以說光線在不管什么情形下都是依最快的路徑行進的,這在物理學上就叫“最快到達的原理”(費馬原理)。

  假如介質不是均勻的,它的折射能力是逐漸改變的,例如在大氣里——在這種情形下,仍舊是合于最快到達的原理的。這可以解釋從天體來的光線在大氣里稍微折射的現象,這種折射天文學家叫“大氣折射”。大氣的密度是向下層逐漸加大的,在這樣的大氣里,光線的折射路線是凹向地面的,這樣光線在上層空氣里走的時間比較久,因為那里它可以走得更快些,而在不容易走快的下層里走的時間比較短;結果它就會比沿直線路徑更快地到達目的地。

  最快到達的原理(費馬原理)不只在光的現象適用,對于聲的傳播以及一切波動也完全適用,不管波動是屬于哪一種類的。

  讀者一定很想知道,波動的這種特性是怎樣解釋的。這種特性在最近的物理學理論上,起了很大的作用。因此我把現代物理學家薛定諤對于這一點的解釋①介紹在下面。

  從方才談的兵士行進的例子出發,而且假定光線是在密度逐漸改變的介質里行進,現代物理學家說:

  假定兵士都握著一根長桿子,使得隊伍的正面能夠保持整齊。現在司令員下令用全速跑步前進!假如地面的情形是逐漸改變的,比方說,起初隊伍的右翼移動得比較快,以后左翼才跟了上去——這樣隊伍的正面就自然而然會轉了過去。這里我們就可以看出,他們所走的路徑就不是直線而是曲折了的。至于這條路徑在時間上應該是最快到達目的地這一點,那是很明顯的,因為每個兵士都是用最大速度在跑的。

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